fonction holomorphe, konstante, bornée

[Bartolomeo]

Bonjour,

j´ai plusieurs questions:

soit continue. Comment montrer que:
_ f est holomorphe précisement quand est holomorphe.
_ f est konstante précisement quand est konstante.
_ f est bornée précisement quand est bornée.

Pour le début je dirais que une si f(z) et g(z)=e^z sont holomorphe alors fog(z) l´est aussi. C´est suffisant?

Cordialement.
-----

[MMu]

Quel est le sens de "précisément quand" ? Si ça signifie "si et seulement si" alors par ex pour le 1er point il faut montrer :
si f(z) est holomorphe alors f(e^z) est holomorphe
si f(e^z) est holomorphe alors f(z) est holomorphe

[Bartolomeo]

Quel est le sens de "précisément quand" ? Si ça signifie "si et seulement si" alors par ex pour le 1er point il faut montrer :
si f(z) est holomorphe alors f(e^z) est holomorphe
si f(e^z) est holomorphe alors f(z) est holomorphe

bonjour,

ce serait plutôt cette version:
si f(e^z) est holomorphe alors f(z) est holomorphe.
Il faudrait remplacer "précisement" par "si seulement".

[Bartolomeo]

Est ce que quelqu´un pourrait il m´aider?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkhnor]

Bonjour.

Les implications directes sont triviales.
Pour les réciproques, pour les deux dernières :utilise la surjectivité de l'exponentielle de dans .

Par exemple, si on suppose constante, égale , alors, pour tout , il existe tel que , et donc , pour tout , ce qui montre que f est constante.

Pour la première :
Si est holomorphe, on doit montrer que est holomorphe.
Soit donc , montrons que est holomorphe en .

Comme , il existe un rayon tel que le disque ouvert .
Il existe donc sur ce disque une détermination holomorphe du logarithme : on dispose d'une application telle que , pour tout .
Par conséquent, pour tout , est donc la composée de fonctions holomorphes (la fonction log et la fonction ), donc est holomorphe sur ce disque, et donc en .

PS : Au lieu de prendre un disque ouvert contenant et pas 0, on aurait pu prendre le plan complexe, privé d'une demi-droite issue de 0 ne passant pas par , ça ne change rien au raisonnement.

[Bartolomeo]

Merci beaucoup pour ton aide Arkhnor!