fonction holomorphe prolongeable en 0

[christophe_de_Berlin]

Bonjour et bonne année,

J´ai un exo d´analyse complexe qui me pose problème car je ne comprend pas le corrigé. Ou du moins je ne suis pas bien sûr:

Soit la fonction:



f est-elle prolongeable en une fonctionh holomorphe dans le disque ?

Bon, mon premier problème, c´est de savoir si cette fonction est prolongeable tout court, c´est à dire si elle a une limite. Dans le corrigé on trouve:

Dans le domaine \ , la fonction f est holomorphe, on a de façon évidente:



Je trouve qu´ils vont un peu vite en besogne, ou alors c´est ma fatique d´après les fêtes qui me joue des tours, en tous cas, pour moi ça n´a rien d´évident. J´ai réussi á trouver ce résultat de la façon (pas évidente) suivante: j´ai utilisé le théorème de l´Hospital en dérivant numérateur et dénominateur. Mais vu que c´était indéterminé, j´ai dérivé en haut et en bas 4 fois pour trouver!
Y a-t-il une façon plus directe de trouver le résultat en question? Vu la forme de la fonction, un DL me parait assez compliqué. Et aussi: Est-il légitime d´utiliser L´Hospital dans le domaine complexe?

Mais bon, une fois qu´on a prolongé la fonction, on doit prouver qu´elle est holomorphe en 0. Dans le corrigé, ils écrivent: f est holomorphe sur D(0,PI) car f est bornée au voisinage de 0.

C´est une explication qui me pose problème à deux points de vue:
- Comment voit-on si facilement qu´elle est bornée en 0
- Si elle est bornée en 0, pourquoi cela veut-il dire qu´elle est holomorphe?

La deuxième question de l´exo m´a donné des idées:

Donner la forme du développement de Laurent de f(z) au voisinage de z = n.PI

en calculant la limite en n.PI de (z - n.PI)^2 . f(z), j´ai vu que nPI est un pôle d´ordre 2 pour n différent de 0 et que 0 est un pôle d´ordre supérieur ou égal à 0. Donc en 0 la série de Laurent se réduit à sa série de Taylor, la partie singulière est nulle. Voilà ma dernière question: Ai-je le droit d´en conclure que f est prolongeable en une fonction holomorphe en 0?

En effet, je lis dans mon cours que si la partie singulière de la série de Laurent n´est pas nulle, alors f n´est pas prolongeable en une fonction holomorphe. Mais l´inverse est-il vrai? si la série de Laurent a une partie singulière nulle en un point a, est-elle alors prolongeable?

merci d´avance

Christophe de Berlin (-13 °C ce matin
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[ericcc]

Pour la limite en 0, le DL est trivial : sin²z=(z-z^3/3!+o(z^3)²=z²-z^4/3+o(z^4)...
COmme elle est de la forme f(z)/g(z) et que g(z) ne s'annule qu'en zéro au voisinage de zéro, on en déduit qu'elle est bornée