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Fonction Holomorphe



  1. #1
    james_83

    Fonction Holomorphe


    ------

    Bonjour à tous,
    J'ai un petit problème pour résoudre cette exercice :

    Déterminer le plus grand ouvert D de C (l'ensemble des complexes) dans lequel
    f(z)=log(1 + z²) est holomorphe.

    Voilà, je ne vois vraiment pas !
    Merci d'avance à tous ceux qui s'y pencheront

    -----

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  4. #2
    Garf

    Re : Fonction Holomorphe

    Je doute fortement qu'un tel ouvert D (ouvert maximal tel que cette fonction soit holomorphe) soit unique.

    Deux méthodes :

    * Simple mais restrictive : le log est holomorphe sur C privé de R-. 1+z^2 est holomorphe partout. Cette fonction est donc holomorphe sur l'ouvert D des complexes z tels que 1+z^2 n'appartient pas à R-, i.e. sur C privé de deux demi-droites que je te laisse découvrir.

    * Plus généraliste : cette fonction est holomorphe sur un ouvert de C simplement connexe tel que 1+z^2 ne s'annule pas, donc sur un ouvert de C simplement connexe et privé de i et de -i (par exemple C privé d'une demi-droite bien choisie, ou d'autres courbes si tu aimes l'originalité).

    Choisis celle que tu préfères, ou celle pour laquelle tu as déjà vu le théorème correspondant.

  5. #3
    james_83

    Re : Fonction Holomorphe

    Alors déjà je te remercie Garf pour ta réponse.

    Pour ta première méthode,
    je trouve z = +iRacine(a + 1) où a positif ou nul
    et z = -iRacine(a + 1)
    J'en déduis C privé des deux demi droites Imaginaires [i, +infini[, ]-i, -infini[.
    Juste un petit doute, il s'agit bien d'un ouvert car tout point de cette ensemble admet une boule centrée en ce point contenu dans cet ensemble, c'est bien ça ?

    Pour ta deuxième méthode, je prendrais C privé de la droite [-i, +infini[ par exemple, est-ce correct ?
    Par contre, tu pourrais juste me préciser le théorème général que tu utilises quand tu dis "cette fonction est holomorphe sur un ouvert de C simplement connexe tel que 1+z^2 ne s'annule pas" ?

  6. #4
    Garf

    Re : Fonction Holomorphe

    "]-i, -infini["

    Attention : [-i, -infini[, et à rédiger un peu mieux en pratique. L'ensemble D obtenu est ouvert plus simplement car complémentaire d'un fermé, les deux demi-droites [i, infini[ et [-i, -infini[ étant fermées (mais ]-i, -infini[ n'est pas fermée...).


    Sinon, le théorème général est : "toute fonction holomorphe sur un ouvert simplement connexe admet des primitives holomorphes sur cet ouvert" ; en l'appliquant à f'/f, où f est holomorphe et ne s'annule pas, un conséquence est "toute fonction holomorphe sur un ouvert simplement connexe et ne s'annulant pas sur cet ouvert admet un logarithme holomorphe". Mais si tu n'as pas vu ce théorème, utilise la première méthode.
    Et oui, C privé de [-i, +infini[ convient.

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  8. #5
    james_83

    Re : Fonction Holomorphe

    Ok Garf, c'est parfait, j'ai tout compris
    Je voulais te demander :
    si jamais tu te sens de m'éclairer sur le topic précédent "lemme de Jordan" , ça serait vraiment cool, mais si t'as pas le temps je comprends

    Voilà,
    Merci beaucoup pour ton aide.

    PS : Bravo pour ULM !!

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