générateur de groupe

[invite78e3241e]

comment trouver le générateur d'un groupe multiplicatif (cyclique)
Z/pZ* avec p premier?
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[invite986312212]

salut,

ce groupe est isomorphe au groupe additif de Z/(p-1)Z

[invite7cf0b55f]

je crois que tout nombre premier avec p-1 doit être générateur.

[God's Breath]

je crois que tout nombre premier avec p-1 doit être générateur.

Non, 1 est premier avec p-1, et n'engendre pas le groupe...

La réponse d'ambrosio est on ne peut plus claire : le groupe multiplicatif Z/pZ* est cyclique. Par suite tout élément, autre que l'élément neutre du groupe, est générateur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Salut God's breath,

Je marche sur des oeufs, connaissant la qualité habituelle de tes réponses, mais sauf erreur de ma part, dans un groupe cyclique, tout élément n'est pas forcément générateur.. Par exemple, 3 est inversible dans Z/5Z, mais il n'est pas générateur du groupe des inversibles puisque il y est d'ordre 2.

Apres, la comme ca je ne me souviens plus s'il y a un moyen canonique de trouver un generateur du groupe des inversible..

[God's Breath]

dans un groupe cyclique, tout élément n'est pas forcément générateur

Merci jobherzt de relever mon erreur grossière, je me suis laissé emporter par « p premier », et j'ai vu le groupe d'ordre premier, donc engendré par tout élément non neutre.

Effectivement, si p est premier, , p-1 n'est pas premier, et la recherche des générateurs du groupe multiplicatif Z/pZ* n'est pas triviale.

[invitebe0cd90e]

Effectivement, on prouve abstraitement que (Z/pZ)* est isomorphe à Z/(p-1)Z, mais l'isomorphisme n'est pas canonique. En principe, il suffit de trouver l'image reciproque de 1 pour avoir un generateur, mais comme l'iso n'est pas canonique en pratique il n'y a pas de moyen naturel de faire ca.

[invite986312212]

Effectivement, on prouve abstraitement que (Z/pZ)* est isomorphe à Z/(p-1)Z, mais l'isomorphisme n'est pas canonique. En principe, il suffit de trouver l'image reciproque de 1 pour avoir un generateur, mais comme l'iso n'est pas canonique en pratique il n'y a pas de moyen naturel de faire ca.

mmhh, c'est vrai, cet isomorphisme ne sert peut-être pas beaucoup en pratique. Il permet juste de connaître le nombre de générateurs.

[invitebe0cd90e]

C'est plutot le contraire, on connait le nombre de generateurs en général (c'est ), le resultat fort derriere cet isomorphisme est que le groupe des inversibles est cyclique, justement...