intégrale

[invite1fec0793]

bonjour

il ya une intégrale que je ne sais pas resoudre la voici

I=(x^4 - 6x^3 + 6x² - 3x+2)/(x²+1)

merci de votre aide
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[breukin]

Il faut d'abord effectuer une division euclidienne de polynômes, et vous allez vous retrouver avec un reste de la forme (ax+b)/(x²+1).

[invite1fec0793]

comment faites vous?

[breukin]

Je pose ma division sur le papier comme avec des nombres entiers, sauf que ce sont des polynômes.

En x⁴–6x³+6x²–3x+2, combien de fois il y va x²+1 ?
Il il va x² fois, et il reste –6x³+5x²–3x+2.
En –6x³+5x²–3x+2, combien de fois il y va x²+1 ?
Il y va –6x fois, et il reste 5x²+3x+2.
En 5x²+3x+2, combien de fois il y va x²+1 ?
Il y va 5 fois, et il reste 3x–3.

Donc x⁴–6x³+6x²–3x+2 = (x²–6x+5)(x²+1)+3x–3.

Donc vous êtes ramenés à trouver la primitive d'un polynôme, ainsi que la primitive de 3x–3/x²+1, or les primitives de x/x²+1 et 1/x²+1 sont exprimables respectivement avec logarithme et arc tangente.

[A voir en vidéo sur Futura]