EDL1 et resolution sur R

[invitea2257016]

Bonsoir à tous!
Voila je suis en ce moment en pleins dans les equations différentielles d'ordre 1, mais il y a quelque chose que je ne comprends pas. Dans la deuxièmeme partie de la determination de la solution, c'est à dire lorsque l'on veut la solution. sur l'intervalle R et qu'on l'avait juste sur les intervalles maximaux, dans les corrections de mes exos. dans l'analyse synthèse mon professeur écrit en "En outre f est derivable en 0 et f(0)=0"(pour le cas ou 0 ne fait pas parti des intervalles maximaux) alors que ces fonctions sont de la forme: f(x)=A(x)/x.(dans la correction juste avant il a donné f(x) pour tout x >0 avec un lambda 1 et f(x) pour tout x<0 avec un lambda 2). Donc dans un premier temps j'aimerai bien savoir comme a - t- il divisé par zero, comment a - t -il determiner la valeur et j'aimerai savoir si par exemple c'est un autre nombre, mettons 1 qui n'est pas dans les intervalles maximaux, et que j'ai cette fonction: f(x) = (x²+lambda)/2(1-x), j'ai f(1) = 0 ou non? En gros en général je ne comprends pas comment on fait pour déterminer dans ces cas là à quoi est égale la fonction en le nombre qui n'est pas défini.
Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Pourrais-tu donner un exemple d'une équation différentielle sur laquelle tu ne comprends pas le raccord ?

[invitea2257016]

(1-x)y'-y=x sur R et la solution que j'ai trouvé c'est : f(x)=(x²+lambda)/(2(1-x))

Donc voila comment j'ai fais:

2)Resolution de (E) sur R
On procède par analyse synthèse
a) Soit f:R -> R une solution de (E) sur R.
Alors f est derivable sur R et:
pour tout x € R,(1-x)f'(x) - f(x)=x
Ainsi f est solution de (E) sur ]-infini,1[ et ]1,+infini[ et il existe (lambda1,lambda2)€ R² tel que:
pour tout x<1,f(x)=(x²+lambda1)/(2(1-x))
pour tout x>1, f(x)=(x²+lambda2)/(2(1-x))

En outre f est derivable en 1 et f(1)=... et la je sais pas comment faire

[invite57a1e779]

Il faut revenir à la définition même de l'équation différentielle : si f est solution sur R de (1-x)y'-y=x, alors on a, pour tout x, (1-x)f'(x)-f(x)=x.

En particulier pour x=1, il vient : -f(1)=1, donc f(1)=-1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2257016]

Ok, merci beaucoup!

[invitea2257016]

Encore une question, pour cette exercice, quand je calcule la dérivée en 1 à gauche et à droite, je tombe sur - infini et +infini, est ce bon, car ca me parait bizarre et si c'est le cas, ca ve dire qu'il n'y a pas de solution sur R tout entier?

Sinon si dans le cas inverse ca tend vers 0, alors que l'on veut que ca tende vers lambda 1 et lambda 2 pour pouvoir raccorder, que doit on faire?

Merci d'avance

[invite57a1e779]

Il faut d'abord déterminer les valeurs de et pour que la condition fasse de une fonction continue.

[invitea2257016]

Pour lorsque ca tend vers 0 et lorsque ca tends vers + ou -infini?
Peux tu me donner un exemple stp?

[invite57a1e779]

Pour assurer la continuité de en 1, tu dois déterminer les valeurs de pour lesquelles .