série de taylor

[invite3569df15]

salut

j'ai

dx/dt = 1/(t-e^x), x(0)=1

je doit déterminer le polynôme de taylor de degré 3 de la solution x(t)

j'ai trouvé

(x³(t²+4t+1))/(6(t-1)^4) + (x²(t+1)) / (2(t-1)^3 + x/(t-1)^2 + 1(t-1)

est-ce bon?

merci
-----

[Jeanpaul]

C'est un polynôme, ça ?

[martini_bird]

Salut,

la réponse est de la forme x(t)=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+ o(t³).

L'horreur que tu as trouvée est fausse (et n'a pas de sens, avec des x qui traînent n'importe où).

Essaie de reprendre le calcul...

Cordialement.

[matthias]

Pour compléter la réponse de martini_bird, il suffit de calculer les valeurs en 0 des dérivées successives de x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Je pense que c'est parce que tu n'as pas compris que ce que tu notes x c'est x(t) et que le développement de taylor que tu cherches c'est celui de x au voisinage de 0.
Tu ne peux donc pas avoir du x qui intervient puisque c'est ta fonction, et que tu la cherches.
Ou alors c'est moi qui n'ai pas compris
A+

[Quinto]

Tu sais que tu as
x(t)=x(0)+tx'(0)+t²x"(0)/2+t^3x^(3)(0)/6 + o(t^3)

Notamment tu sais que x'(t)=1/(t-exp(x(t))
Si je cherche x'(0) ca me fait donc
x'(0)=1/(0-exp(x(0))=1/exp(x(0))=1/e car x(0)=1
Sauf erreur.
Je te laisse trouver x" et x^(3)

[invite3569df15]

Salut,

la réponse est de la forme x(t)=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+ o(t³).

L'horreur que tu as trouvée est fausse (et n'a pas de sens, avec des x qui traînent n'importe où).

Essaie de reprendre le calcul...

Cordialement.

pourtant j'ai pris un soft mathématique, j'ai mis: 1/(t-e^x) dans la fonction taylor et ça ma donner ce résultat là... à la main ça m'avais aussi donné ce résultat là

[matthias]

pourtant j'ai pris un soft mathématique, j'ai mis: 1/(t-e^x) dans la fonction taylor et ça ma donner ce résultat là... à la main ça m'avais aussi donné ce résultat là

Tu as calculé le développement de Taylor de x -> 1/(t-e^x) en considérant t comme une constante ?
Ce que tu veux c'est le développement de t -> x(t)
Tu ne peux donc pas obtenir de x, mais un polynôme en t.

[invite3569df15]

Tu sais que tu as
x(t)=x(0)+tx'(0)+t²x"(0)/2+t^3x^(3)(0)/6 + o(t^3)

Notamment tu sais que x'(t)=1/(t-exp(x(t))
Si je cherche x'(0) ca me fait donc
x'(0)=1/(0-exp(x(0))=1/exp(x(0))=1/e car x(0)=1
Sauf erreur.
Je te laisse trouver x" et x^(3)

un peu de difficulté à comprendre comment ça fonctionne

pour

x''(t)=1/(t-e^x'(t))

=1/(0-e^1/e) = e^-e^-1

[matthias]

x''(t)=1/(t-e^x'(t))

non.
x'(t) = 1 / (t-e^x(t)) donc x''(t) = -(1-x'(t).e^x(t)) / (t-e^x(t))²
il suffit de dériver par rapport à t.

[Gwyddon]

Tu sais que tu as
x(t)=x(0)+tx'(0)+t²x"(0)/2+t^3x^(3)(0)/6 + o(t^3)

Notamment tu sais que x'(t)=1/(t-exp(x(t))
Si je cherche x'(0) ca me fait donc
x'(0)=1/(0-exp(x(0))= - 1/exp(x(0))= -1/e car x(0)=1
Sauf erreur.
Je te laisse trouver x" et x^(3)

Juste une petite question de méthode : au lieu de s'amuser à dériver successivement, n'est ce pas plus simple de faire des DLs, et exploiter l'unicité d'un DL pour obtenir des relations entre les divers coeff ? Ayant a0 = -1/e , on en déduit le reste.

Julien

[matthias]

Juste une petite question de méthode : au lieu de s'amuser à dériver successivement, n'est ce pas plus simple de faire des DLs, et exploiter l'unicité d'un DL pour obtenir des relations entre les divers coeff ? Ayant a0 = -1/e , on en déduit le reste.

Calculer x'(0), x''(0) et x'''(0) est quasiment immédiat. Je ne suis pas certain que ça vaille le coup de faire un DL.

[invite3569df15]

non.
x'(t) = 1 / (t-e^x(t)) donc x''(t) = -(1-x'(t).e^x(t)) / (t-e^x(t))²
il suffit de dériver par rapport à t.

x(0)=1
x'(0)=1/e
x''(0)=e^(-1) -1


x'''(t)=[e^(x(t)) * ( e^(x(t)) -t) * x''(t) - e^(x(t)) * ( e^(x(t))+t)* ( x'(t) )² + 4 * e^(x(t)) * x'(t)-2] / (e^(x(t))-t)^3

[matthias]

x(0)=1
x'(0)=1/e
x''(0)=e^(-1) -1

Je trouve x'(0) = -1/e et x''(0) = -2/e²

x'''(t)=[e^(x(t)) * ( e^(x(t)) -t) * x''(t) - e^(x(t)) * ( e^(x(t))+t)* ( x'(t) )² + 4 * e^(x(t)) * x'(t)-2] / (e^(x(t))-t)^3

Je crois que c'est bon.

[Quinto]

C'est moi qui me suis trompé pour le x' dans mon post, et juju l'a notifié.
Malheureusement ca s'est repercuté partout.
A+

[invite3569df15]

une fois qu'on a les valeurs de x(0), x'(0)... il faut les mettres dans a0+a1t+a2t2+a3t3+ o(t3) ?

donc ça ferait

x(t)=x(0)+tx'(0)+t²x"(0)/2+t^3x^(3)(0)/6 + o(t^3)

1- 1/e*t -2/e² t² ....?

[Gwyddon]

Oui c'est ça, et n'oublies pas le o(t^3) à la fin

[invite3569df15]

pour x'''(0) j'ai trouver -9 / e^3

pour: o(t^3)

c'est tu 0 ou o? car je comprends pas ce que ça signifie

[Gwyddon]

C'est la notation standard pour "est négligeable devant".

On dit que f(t) est négligeable devant g(t) quand t tend vers t0 ssi il existe h fonction tendant vers 0 pour x tendant vers t et telle que dans un voisinage de t0 l'on ait f(t) = g(t) * h(t) .

Ici g(t)=t^3 et t0=0

[martini_bird]

C'est la notation standard pour "est négligeable devant".

Aussi appelée notation de Landau.

o(t) se lit "petit o de t".

Cordialement.

[invite3c81b085]

Pourriez-vous m'expliquer cmt faire le dévellopement de Taylor d'un fonction quelconque de x???
Mici

[invitea8d97425]

On a en général, pour un développement au voisinage de a :

f(x) = sum((f(k)(a))*(x-a)^k/k!,k,0,n) + o((x-a)^n)

Celui-ci est un développement de Taylor-Young; on peut expliciter le reste avec Taylor reste intégral.

Par contre, il ne sera valable que si la fonction est de classe C(n+1) (ie. n+1 fois dérivable en a et la dernière dérivée continue).

[invite3c81b085]

merci.

Et pour avoir un polynome pour la fonction f(x).
Par exemple,


Je sais que c'est un développement de taylor...
Quelle est la formule générale pour toute fonction quelconque???
Merci

[matthias]

merci.

Et pour avoir un polynome pour la fonction f(x).
Par exemple,

ce n'est pas un polynôme si tu sommes jusqu'à l'infini.
Et attention toutes les fonctions ne sont pas aussi gentilles qu'exponentielle, la convergence n'est pas toujours assurée.
Sinon pour la formule générale, Ithilian_bzh l'a donnée.

[Cyp]

merci.

Et pour avoir un polynome pour la fonction f(x).
Par exemple,


Je sais que c'est un développement de taylor...
Quelle est la formule générale pour toute fonction quelconque???
Merci

en fait ce que tu cherches c'est &#224; &#233;crire une fonction comme une somme (infinie) de ak*x^k : c'est ce qu'on appelle le d&#233;veloppement en s&#233;rie enti&#232;re d'une fonction. Pour la fonction exponentielle, l'&#233;galit&#233; que tu as &#233;crite est son d&#233;veloppement en s&#233;rie enti&#232;re (DSE) On dit de plus que ce DSE a un rayon de convergence infini c'est &#224; dire qu'il est valable pour tout x r&#233;el. Cependant il existe des fonctions (et c'est m&#234;me le cas le plus fr&#233;quent) pour lesquelles le DSE n'est valable que sur un intervalle born&#233; (typiquement le DSE de valable pour |x|<1) ou d'autres fonctions pour lesquelles il n'existe pas...
++ Cyp

[invite3c81b085]

Pour en venir au but:

J'aimerai trouver une forme pour:



Je sais qu'elle n'existe pas alors, j'essaye par tout les moyens de la déterminer tout de même.