Polynôme caractéristique

[invite8d54258a]

Bonsoir, on me demande de déterminer sans calcul le polynôme caractéristique de la matrice dont les coefficients sont 1. J'ai vu que c'était une matrice diagonalisable car symétrique et réelle, puis qu'elle était de rang 1 et que donc 0 est valeur propre d'ordre . L'autre valeur propre étant donné par la trace, c'est , qui est simple.

Maintenant, je ne sais jamais pour le coefficient dominant! Je dirais que . Mais j'ai comme un doute ... Qu'en pensez-vous ?
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[invite34b13e1b]

je suis tout à fait d'accord!

[invite6f25a1fe]

Oui c'est ca, à ceci près que si ta définition du P.C est det(J-X.L) alors il te faut rajouter un (-1)^n devant ton polynome (mais bon, c'est aller chercher la bébéte là)

Pour aller un peu plus loin : as tu vraiment besoin de savoir qu'elle est symétrique réelle pour faire l'exo ? Essaye de faire l'exo avec une matrice de rang 1 quelconque

[invite8d54258a]

Eh bien bonne question!

En général, je crois qu'on a où est l'ordre de multiplicité géométrique de et est l'ordre de multiplicité algébrique de .

Supposons donc que l'on ait une matrice de rang 1, alors on a toujours (th. du rang) et donc .

Alors on en déduit que . Mais comme le polynôme caractéristique est de degré , on a soit , soit .

Si , alors il nous manque une racine qui est telle que . Je ne crois pas que l'on puisse en dire plus! Dans ce cas

Si , alors .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

Soit A un endomorphisme de rang 1, essaye de montrer que est annulateur de A.

De là, on peut donc aller beaucoup plus loin (je met en spoiler si tu souhaites chercher un peu ...)

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P(A) = A(A-tr(A)) est annulateur de la matrice A. On a donc 2 cas:

1) tr(A) est non nulle : alors le polynome P(A) est le polynome minimal (sinon A serait nulle ou multiple de l'identité, donc de rang différent de 1). Etant scindé à racines simples, on peut dire que A est diagonalisable (c'est une CNS pour être diagonlisable !)
On a donc que les multiplicités géométrique et algébrique sont identiques et on conclut directement

2) si tr(A)=0, alors P(A)=A². Or le polynome Q(A)=A n'est pas annulateur pour A (sinon A serait nulle, mais donc de rang 0).
donc P(A) est le polynome minimal scindé mais pas à racines simples -> A n'est pas diagonlisable

truc a se souvenir : A de rang 1, alors A est diagonalisable si et seulement si tr(A) n'est pas nulle

[invite8d54258a]

Merci bien.