Nouveaux nombres à partir des transfinis (avec opérateurs)

[xxxxxxxx]

bonjour,

j'ignore complètement si ça tient la route mais je crois avoir trouvé le moyen de faire des additions et des soustractions dans N à partir d'un "sur ensemble" des transfinis.

les tranfinis sont définis ainsi pour N :

0 = {} (ensemble vide)
1 = {0} = { {} }
2 = {0,1} = { {}, { {} } }
3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}
4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }

définissons notre nouvel ensemble ainsi pour N:

0 = {} = {0}(ensemble vide)
1 = { {0} }
2 = {{0},{1}}
3 = {{0},{1},{2}}
4 = {{0},{1},{2},{3}}

2+3={ {0},{1},{0},{1},{2}} on compte simplement le nombre d'élément pour trouver 5 dans N.

à noter que c'est différent de

1+4= {{0},{0},{1},{2},{3}}

2*3={{0},{0},{0},{1},{1},2}}

pour trouver la valeur dans N, c'est identique à l'addition : on compte simplement le nombre d'ensemble : soit 6 ici :0,0,0,1,2^

de la même manière 3*6 et 2*9 seraient différents dans cet ensemble

ce n'est qu'une ébauche. si cela n'existe pas déjà l'idée qui pourrait creusée

cordialement
-----

[xxxxxxxx]

correcteion pardon

2*3={{{0},{0},{0}},{{0},{1},2} }}

on compte le nombre de songletons pour trouver la valeur dans N

[Médiat]

Bonjour

les tranfinis sont définis ainsi pour N :

0 = {} (ensemble vide)
1 = {0} = { {} }
2 = {0,1} = { {}, { {} } }
3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}
4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }

Je ne vois ici aucun transfinis, juste des entiers de Von Neumann

définissons notre nouvel ensemble ainsi pour N:

0 = {} = {0}(ensemble vide)
1 = { {0} }
2 = {{0},{1}}
3 = {{0},{1},{2}}
4 = {{0},{1},{2},{3}}

2+3={ {0},{1},{0},{1},{2}} on compte simplement le nombre d'élément pour trouver 5 dans N.

à noter que c'est différent de

1+4= {{0},{0},{1},{2},{3}}

Vous dites "on compte simplement le nombre d'élément ", mais vous les comptez avec quoi ?

En fait, puisque vous parlez d'ensembles, on obtient :
2+3={ {1},{2}} = rien de déjà défini
et
1+4= {{0},{1},{2},{3}} = 4.


Si vous voulez considérer plusieurs fois un même élément, il faut vous tourner vers les multi-sets et non les ensembles.

[xxxxxxxx]

Bonjour
Je ne vois ici aucun transfinis, juste des entiers de Von Neumann

Je ne pense pas avoir fait une erreur sur ce point si wikipédia ne dit pas d'anerie : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transfini

Vous dites "on compte simplement le nombre d'élément ", mais vous les comptez avec quoi ?

je les compte avec N tel qu'on l'entend habituellement, l unité c'est {x}, avec x entier naturel

En fait, puisque vous parlez d'ensembles, on obtient :
2+3={ {1},{2}} = rien de déjà défini
et
1+4= {{0},{1},{2},{3}} = 4.

non puisque l unité c'est {x}, comme quoi j'ai toujours du mal a exposer correctemnt mes idées

cependant
j'ignore s'il faut écrire :

0 = {} = {0}(ensemble vide)

ou

0 = {0}(ensemble vide)

Si vous voulez considérer plusieurs fois un même élément, il faut vous tourner vers les multi-sets et non les ensembles.

oups je n'ai trouvé que des références en anglais et je serais trop vite dépassé


cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je ne pense pas avoir fait une erreur sur ce point si wikipédia ne dit pas d'anerie : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transfini

wikipedia dit clairement :

En théorie des ensembles, les entiers naturels peuvent être construits avec des ensembles :

Cette technique de construction permet effectivement d'aller au-delà, avec l'axiome de l'infini et un "léger" complément, mais cela n'est pas votre souci présent, me semble-t-il.

je les compte avec N tel qu'on l'entend habituellement

Par exemple avec les entiers de Von Neumann, dont votre définition dépend donc, et je suppose que "compter" revient à définir une bijection entre un entier de Von Neumann et votre ensemble, c'est bien cela ? Du coup quel peut être l'intérêt d'une définition des entiers qui repose sur une autre définition des entiers ?

l unité c'est {x}, avec x entier naturel

J'avais cru comprendre que l'unité, c'est à dire 1 c'était {{}}.

non puisque l unité c'est {x}, comme quoi j'ai toujours du mal a exposer correctemnt mes idées

Que vous le vouliez ou non, en théorie des ensembles {{0},{0},{1},{2},{3}} = {{0},{1},{2},{3}}

cependant j'ignore s'il faut écrire :
0 = {} = {0}(ensemble vide)
ou
0 = {0}(ensemble vide)

{}

je n'ai trouvé que des références en anglais et je serais trop vite dépassé

http://fr.wikipedia.org/wiki/Multiensemble

[xxxxxxxx]

Par exemple avec les entiers de Von Neumann, dont votre définition dépend donc, et je suppose que "compter" revient à définir une bijection entre un entier de Von Neumann et votre ensemble, c'est bien cela ? Du coup quel peut être l'intérêt d'une définition des entiers qui repose sur une autre définition des entiers ?

si je me trompe pas dans les termes ce seraient des entiers cardinaux non ordinaux. pour la bijection j'ai des doutes je n'ai pas étudié la question mais je pense que non vu que cet ensemble d'entier n'est pas ordonné.

J'avais cru comprendre que l'unité, c'est à dire 1 c'était {{}}.

pour tenter de préciser plus encore, je suis jamais clair du premier coup, l'unité pour le dénombrement de cet ensemble est le singleton {x}, x entier naturel. et {0} compte pour une unité dans cet ensemble. on compte le nombre de singletons avec les entiers naturels pour trouver le résultat de l'opération dans N, peut importe la valeur de x. (on peut définir une soustraction, je n'ai pas trouvé la solution pour la division)

Que vous le vouliez ou non, en théorie des ensembles {{0},{0},{1},{2},{3}} = {{0},{1},{2},{3}}

très certainement pour les ensembles ordonnées. reste le soucis du paradoxe de Banach-Tarski qui semble dire qu'il y a un peu de désordre dans cette théorie incontestablement très solide

[Médiat]

si je me trompe pas dans les termes ce seraient des entiers cardinaux non ordinaux.

Quelle est la différence ?

Je repose ma question : quelle est l'intérêt d'une nouvelle définition des entiers qui en nécessite une autre bien connue ?

très certainement pour les ensembles ordonnées.

Non, cela n'a rien à voir avec les ensembles ordonnés.

reste le soucis du paradoxe de Banach-Tarski qui semble dire qu'il y a un peu de désordre dans cette théorie incontestablement très solide

J'ai peur qu'avec le peu de connaissance que vous manifestez sur la théorie des ensembles, le paradoxe de Banach-Tarski (qui nécessite l'axiome du choix) ne soit un peu en dehors de ce que vous maitrisez.

[xxxxxxxx]

Quelle est la différence ?

Je repose ma question : quelle est l'intérêt d'une nouvelle définition des entiers qui en nécessite une autre bien connue ?

pardon la question m'avait échappé. les prémices de cette nouvelle définition des entiers, si cettte définition est acceptable, vient d'un besoin suite à des recherches en physique.

Non, cela n'a rien à voir avec les ensembles ordonnés.

J'ai peur qu'avec le peu de connaissance que vous manifestez sur la théorie des ensembles, le paradoxe de Banach-Tarski (qui nécessite l'axiome du choix) ne soit un peu en dehors de ce que vous maitrisez.

Effectivemnt je ne sais rien sur la théorie des nombres

par contre lorqu'on me parle de théorie des nombre, ça pique ma curiosité, je fouine et cherche les points sensibles. quand je lis :

Le paradoxe de Banach-Tarski, dû à Stefan Banach et Alfred Tarski, montre qu’il est possible de couper une boule de R³ (dslé je ne connais pas la notation des l'ensemble de nombres réels en latex) en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à une isométrie près.

et que dans ce que je propose il y a

2+3=4+1 dans N

et que

2+3<>4+1 dans ce nouvel ensemble

en raisonnant simplement sur le concept et sans être thésard je me dis que peut être il y a une piste pour pouvoir dire avec ce nouvel ensemble :

2+3=isométrie de 4+1=2+3

d'où mon intérêt soudain pour ce paradoxe que je ne connaissais ni d'êve, ni d'adam et qui restera a des années lumière de ce que je pourrais poser un jour comme calculs

sinon, la formulation de ce nouvel ensemble N vous semble à peut près acceptable maintenant que vous m'avez bien aidé à le formaliser ?

cordialement

edit grossen betise y a deux boules ^^

[xxxxxxxx]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Multiensemble

j'avais pas fait attention au lien merci.

cependant ce que je propose , n'est pas un multiensemble.

c'est la multiplication qui permet de le constater. (en plus je viens de voir que je jusqu'a présent j'ai fait des bourdes sur la multiplication) :

2*3={ { {0},{0},{0} } , { {0},{1},{2} } }

3*4= { { {0},{0},{0},{0} }, { {0},{1} ,{2}, {3} }, { {0},{2} ,{4}, {6} } }

4*3= { { {0},{0},{0} }, { {0},{1,} {2} }, { {0},{2} ,{4} } , { {0},{3} ,{6} } }

[Médiat]

cependant ce que je propose , n'est pas un multiensemble.

2*3={ { {0},{0},{0} } , { {0},{1},{2} } }

Si vous voulez travailler avec des ensembles, il faudra vous faire à l'idée que
{ { {0},{0},{0} } , { {0},{1},{2} } } = { { {0} } , { {0},{1},{2} } }
qui d'ailleurs est un ensemble de cardinal (et d'ordinal puisque c'est pareil pour les entiers) 2 et non 6 (ni 4).

[xxxxxxxx]

Si vous voulez travailler avec des ensembles, il faudra vous faire à l'idée que
{ { {0},{0},{0} } , { {0},{1},{2} } } = { { {0} } , { {0},{1},{2} } }
qui d'ailleurs est un ensemble de cardinal (et d'ordinal puisque c'est pareil pour les entiers) 2 et non 6 (ni 4).

Effectivement je suis trop têtu parfois . j'ai cette fois pris le temps de retourner sur la définition des ensembles, ce ne peut pas être des ensemble au sens où on l'entend. du coup j'en viens à dire s'agirait plus de multi-ensembles de multi-ensemble comme vous le proposiez dès le départ.

si cette approche rend la proposition plus acceptable , les opérations proposées sur cet "entité" sont elles correctes ?

[xxxxxxxx]

bonjour,

je viens de remarquer une autre particularité de cette entité :
0 = {0}
1 = { {0} }
2 = {{0},{1}}
3 = {{0},{1},{2}}
4 = {{0},{1},{2},{3}}

4-1={{1},{2},{3}}

garde l'information qu'en géométrie c'est le segment [0,1] qui a été soustrait

[Médiat]

Bonjour,

4-1={{1},{2},{3}}

A quoi est égal (4-1)-1, dans votre système ?

[xxxxxxxx]

Bonjour,
A quoi est égal (4-1)-1, dans votre système ?

ça n'existe pas

par contre je peux faire (4-1)-(3-2)

[Médiat]

ça n'existe pas

Un peu gênant, non ?

Pourriez-vous donner une définition précise de votre système (clairement la construction initiale ne suffit pas) ?

Quelles sont les propriétés de votre système ?

[xxxxxxxx]

Un peu gênant, non ?

Pourriez-vous donner une définition précise de votre système (clairement la construction initiale ne suffit pas) ?

Quelles sont les propriétés de votre système ?

Je ne pense pas que ce soit gênant car ma contrainte est : je ne peux enlever que ce qui existe ( j'en profite rapeller qu'à l'origine mon besoin est une recherche en physique)

Je ne suis pas en mesure de donner une définition claire et formelle de ce système car je n'ai pas les connaissance pour le formaliser de manière plus appronfondie. il en va de même pour ses propriétés d'autant que ma réfléxion sur la formalisation de ce système n'a commencée qu'hier

L'idée directrice de la construction de ce système est que algèbre et géométrie sont intimement lièes.

pour essayer d'etre le plus précis, dans la mesure de mes capacités, un nombre dans N pourrait être de dimension 1 ou 2 ou plus encore :

un exemple simple est 4

en dimension 1 :
4 = {{0},{1},{2},{3}}
soit 4 unités

en dimension 2 :
4 = 2*2 {{{0},{0}},{{{1},{4}}}
soit 2 "couples" donc deux dimensions

pour savoir dans quelle dimension on se trouve il suffit de prendre en compte le premier nombre de la multiplication ou de compter le nombre de multiensembles (2 ici)

pour 3*X on sera en dimension 3 par exemple

j'en profite pour donner une autre caractéristique que je viens de comprendre grace à vos questions :

pour X de "dimension n" les multiensembles contiennent un nombre d'éléments : on n'aura que des singletons, des couples de singleton, des triplets de singleton, etc...

cordialement

[xxxxxxxx]

j'en profite pour donner une autre caractéristique que je viens de comprendre grace à vos questions :

pour X de "dimension n" les multiensembles contiennent un nombre d'éléments : on n'aura que des singletons, des couples de singleton, des triplets de singleton, etc...

non c'est une erreur de ma part pardon

pour savoir dans quelle dimension on se trouve il suffit de prendre en compte le premier nombre de la multiplication ou de compter le nombre de multiensembles (2 ici)

ceci est correct

[Médiat]

Bonjour,

Vous voulez définir un nouvel ensemble, avec de nouvelles opérations, c'est louable, mais pour aboutir, il vous faut remplir certaines conditions :

1) Avoir une intention (cela semble le cas : "les prémices de cette nouvelle définition des entiers, si cettte définition est acceptable, vient d'un besoin suite à des recherches en physique. ").

2) Définir proprement votre ensemble et/ou les opérations qui vont avec, pour cela vous avez en gros deux techniques :
a) Méthode axiomatique, pas besoin de parler de l'ensemble sous-jacent, les propriétés des opérations sont suffisantes, par contre il faut prouver que le système est consistant ou au moins co-consistant (même s'il y a des contre-exemples, les logiciens préfèrent les théories consistantes).
b) Construire votre ensemble à partir d'un autre et définir les opérations qui vont avec, en démontrant quelques propriétés intéressantes.

3) Intéresser le monde des mathématiciens (ou des physiciens, ou ...), mais pour cela il vous faut exprimer clairement votre intention, développer la définition et montrer que celle-ci répond correctement à votre intention.

Tant que vous n'aurez pas fait ce travail, les 3 points, (et il n'est pas fait dans ce que vous avez présenté jusqu'à présent), j'ai peur que la communauté ne s'intéresse pas à vos travaux.

Cordialement,

[xxxxxxxx]

Bonjour,

Vous voulez définir un nouvel ensemble, avec de nouvelles opérations, c'est louable, mais pour aboutir, il vous faut remplir certaines conditions :

1) Avoir une intention (cela semble le cas : "les prémices de cette nouvelle définition des entiers, si cettte définition est acceptable, vient d'un besoin suite à des recherches en physique. ").

2) Définir proprement votre ensemble et/ou les opérations qui vont avec, pour cela vous avez en gros deux techniques :
a) Méthode axiomatique, pas besoin de parler de l'ensemble sous-jacent, les propriétés des opérations sont suffisantes, par contre il faut prouver que le système est consistant ou au moins co-consistant (même s'il y a des contre-exemples, les logiciens préfèrent les théories consistantes).
b) Construire votre ensemble à partir d'un autre et définir les opérations qui vont avec, en démontrant quelques propriétés intéressantes.

3) Intéresser le monde des mathématiciens (ou des physiciens, ou ...), mais pour cela il vous faut exprimer clairement votre intention, développer la définition et montrer que celle-ci répond correctement à votre intention.

Tant que vous n'aurez pas fait ce travail, les 3 points, (et il n'est pas fait dans ce que vous avez présenté jusqu'à présent), j'ai peur que la communauté ne s'intéresse pas à vos travaux.

Cordialement,

Un énorme merci pour ces recommandations. Vous l'aurez compris le point le plus délicat pour moi sera de m'exprimer clairement.

Cordialement,