Suite stationnaire

[invitea51befa8]

Bonjour tout le monde. Voila j'ai une petite question qui me pose problème dans un DM et qui en plus de m'empêcher d'avancer m'en fais m'en poser une autre.

Soient a et b deux réels tq a<b
Soit (an) une suite convergente tq quelque soit n appartenant a N an appartient a {a,b}
Mq, avec précision, que (an) est stationnaire.

J'ai donc essayer plusieurs méthode sans succès, ce qui m'amène à poser la question suivante:
Une suite convergente est-elle nécessairement soit constante, soit croissante ou soit décroissante ( autrement dit monotone )
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[Médiat]

Soient a et b deux réels tq a<b
Soit (an) une suite convergente tq quelque soit n appartenant a N an appartient a {a,b}
Mq, avec précision, que (an) est stationnaire.

Si pour tout N appartenant à IN, il existe n > N et p > N tels que a_n = a et a_p = b, pensez-vous que la suite soit convergente (dans la définition de la limite il y a un epsilon qu'il suffit de choisir égal à (a+b)/2 pour trouver une contradiction.

Une suite convergente est-elle nécessairement soit constante, soit croissante ou soit décroissante ( autrement dit monotone )

Non, il suffit de considérer la suite définie par