Développement limité

[invite8ebe2602]

Bonjour!

Je voudrais faire le dl d'odre 4 de la fonction 1/cos(x),
Le dl de cos(x) est:
cos(x)=1-x^2/2+x^4/24+o(x^4)

donc 1/cos(x)=1/(1-x^2/2+x^4/24+o(x^4))

Apres je ne sait pas continué je ne comprend pas l'étape suivante .. Si quelqu'un peut m'aider!

Merci pour vos réponse!
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[invite6f25a1fe]

il faut composer les DL en sachant que pour h proche de 0

Pour composer, il te suffit de poser qui tiend bien vers 0 (car il faut que h tende vers 0) et d'utiliser le DL que j'ai donné plus haut

Attention : quand on fait ca, il faut faire très attention au ordre du 0() pour être sûr de garder les bons termes (ni plus, ni moins) dans le DL final

[invite3240c37d]

La fonction est paire donc :
Il s'ensuit : b₀a₀=1, b₂a₀+b₀a₂=0, b₄a₀+b₂a₂+b₀a₄=0, ....
Tu connais les a, t'en déduis les b

[invite8ebe2602]

Deja merci pour vos réponse!
j'ai juste un probleme je ne comprend pas pourquoi vous utiliser la formule 1/1-h ?
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

car c'est la méthode qu'il faut utiliser :
tu es arrivé à

Je pose qui tend bien vers O
Donc et je peux alors utiliser la formule que j'ai utilisé
d'où :

Il suffit ensuite de développer et de faire attention aux ordre : pour obtenir un ordre 4 sur 1/cos(x), est ce que j'ai bien pris tous les termes qu'il me fallait. Par exemple, si j'avais pris que 1/(1-h)=1+h+o(h²), je me serais rendu compte en développant que j'ai un terme en o(x)*x², donc un terme en o(x^3) !!! Cela veut peut être dire que j'ai oublié des termes en x^4 et il faut alors recommencer en prenant un ordre plus grand (d'où la formule que j'ai donné en o(h²) et non pas o(h) )

Donc en développant, tu obtiens ceci :


En ne gardant que les termes d'autres 4 ou inférieur, on obtient:
(sauf erreur)

[invite8ebe2602]

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre, j'ai bien compris tous se que tu ma expliquer. En faite je n'avais pas dans mon cours que 1/cos(x)=1/1-h.

Merci pour cette explication et bonne fete!