Densité

[invite9f7d4bdc]

Bonjour à tous !

J'ai un petit problème sur deux exo assez courts qu'on nous a donné pendant les vacances.

1) Soit G l'ensemble des a+b*Pi, avec a,b € Z .
Mq G est dense dans R.

2) Soit f:R->R . Soit G l'ensemble de ses périodes.
a) Mq G est un sous-groupe de (R,+).
b) Mq si f n'est pas une fonction constante, f admet une plus petite période.

Pour le 1), je n'arrive pas à utiliser la définition de la densité, ni même à construire une suite d'élément de G tendant vers un réel x : ce n'est même pas un sous-anneau de (R,+,*)...
Pour le 2, la a est facile mais je me retrouve bloqué à la 2, j'ai fait une pseudo-démonstration qui n'utilisait pas la question a) et qui est assez limite ...

Dans mes pistes, j'en reviens à prouver (aussi bien pour le 1er que pour le 2ème exo), que G est dense dans R <=> G n'admet pas de plus petit élément dans R. Ce que je n'arrive pas à démontrer.

Merci d'avance pour vos pistes.
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[invite9f7d4bdc]

J'ai réussi à démontrer que les sous-groupes additifs de R sont soit dense dans R, soit discrets de la forme aZ.

Ca m'aide pas mal, mais je n'arrive toujours pas à démontrer que si f n'est pas constante, elle admet une plus petite période. C'est pourtant si logique .

[invite57a1e779]

je n'arrive toujours pas à démontrer que si f n'est pas constante, elle admet une plus petite période. C'est pourtant si logique.

C'est normal, ce résultat te paraît peut être logique, mais il est faux (il faudrait déjà préciser plus petite période strictement positive...).

Pour la fonction définie par , le groupe des périodes est : cette fonction n'admet pas de plus petite période strictement positive.

[invite9f7d4bdc]

L'erreur vient de moi, j'ai oublié de préciser que f était continue et périodique...

Mea culpa...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Si le groupe des périodes est dense, alors tout nombre réel est limite d'une suite d'éléments de , et, par continuité de , est limite de la suite .

[invite9f7d4bdc]

Et donc c'est f(0) ... Merci beaucoup pour ton aide ! Je déteste ce chapitre, les problèmes sont super intuitifs mais pas les démonstrations. Qui sont pourtant simples quand on les connait...