Equation Différentielle

[invitebe08d051]

Bonjour,

En préparant mon DS d'équations différentielles, j'ai abordé un problème que j'ai fini sauf une question qui me pose problème.

On désire étudier l'équation différentielle .

Je note les résultats établis:
En préliminaires on a montré que: .
Si est solution de alors et sont solutions.
Les solutions constantes de appartiennent à et on désire dans la suite montrer que ce sont les seules solutions de .
, on prend un entier tq ( pair pour l'instant).
On pose. .
Par absurbe, on suppose que n'est pas tjr nulle tq .
A l'aide de la symétrie des solutions de , on peut toujours se ramener au cas .

Et enfin, on veux montrer que .

Bon, on sait que et , pour montrer que est strictement positive, il suffit de montrer que est croissante sur mais j'arrive pas....

Autrement j'ai essayé un raisonnement par absurde, si est négative cela veut dire que s'annule dans un point (car continue), et que s'annule aussi (car dérivable et atteint une valeur positive) , j'ai essayé de combiner ce résultat avec l'équation initiale mais sans pouvoir trouver de contradiction..

Qu'en pensez vous ??

Merci
Mimo

Aufait, le problème est dispo ici pdf.
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[invite57a1e779]

Je considère l'ensemble : il est fermé (car est continue) et borné, donc compact ; il est non vide (0 lui appartient), donc il admet un plus grand élément , et .

Sur l'intervalle , ne s'annule pas, est de signe constant, positif.
Par continuité, il existe tel que, sur , on ait .

On en déduit, du fait que est pair, que est positive sur , alors que est négative, ce qui gêne...