Equation différentielle

[invite62ffc9d0]

bonsoir,

peut-on résoudre "rapidement" y'+ y=(x+1)exp(-x) ?
Merci de votre réponse.
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[invited40176e2]

salut,

oui, pour résoudre ce type d'équation tu peux le faire en deux étapes:
a) tu résouds l'équation homogène y'(x)+y(x) = 0
tu as la solution générale du genre y(x) = Aexp(-x), A est une constante

b) tu cherches une solution particulière de l'équation non homogène, soit au pif soit par la méthode de variation des constantes, qui consiste à prendre la solution préédente et a considérer que A n'est plus une constante mais une fonction de x: A(x), tu injectes y(x) = A(x)exp(-x) dans l'équation complète et tu obtient une équation différentielle homogène pour A(x), que tu peux rsoudre (variables séparées) ensuite tu dis juste que la solution générale de ton équation de départ c'est la somme de la solutiongénérale de l'équation homogène plus la solution particulière de l'équation non homogène.


moi je trouve

y(x) = Aexp(-x)+((x^2)/2+x)exp(-x)


voilà

bone nuit,



quentin

[krikor]

Bon jour
y'+y=(x+1)e^'-x)

y'=y; ln(y/c)=-x; y°=c*e^(-x)




yp=(ax²+bx+coe^(-x)

y'p=(2ax+b-ax²-bx-c)e^(-x)

y'+y=(x+1)e^(-x);

(2ax+b)e^(-x)=(x+1)e^(-x)

a=1/2; b=1;

yp=x²/2+x

y=y°+yp=c*e^(-x)+ x²/2+x

Bonne chance!

[invite62ffc9d0]

Merci de vos réponses mais une chose m'intrigue:
Si je remplace y par son expression générale,
je ne retrouve pas (x+1)exp(-x) !
Merci de me renseigner.

[A voir en vidéo sur Futura]

[krikor]

blou92, Vous avez raison
je vais faire autrement:

y°=ce^(-x)

yp=c(x)e^(-x); y'p=(c'-c)e^(-x)

c'e^(-x)=(x+1)e^(-x)

dc/dx=x+1; c(x)=x²/2+x+c1

yp=(x²/2+x+c1)e^(-x)

y=ce^(-x)+(x²/2+x+c1)e^(-x)

y=(C+x+x²/2)e^(-x); C=c+c1