Restriction et symétrie

[invite1eae1089]

Salut tout le monde,
alors j'ai un petit problème d'algèbre que j'aimerais bien vous exposer ...
alors j'ai une application phi qui va de Mn(R)xMn(R) dans R et qui à A et B deux matrices associe trace(AB).
On me demande de montre que cette forme est bilinéaire symétrique (cette partie j'ai réussi)

Puis on me demande de montrer que la restriction de phi a Sn(R)xSn(R) est définie positive(où Sn(R) est l'ensemble des matrices symétriques). Puis l'orthogonal de Sn(R)? puis la signature de phi?

Et là je ne sais pas du tout quoi faire jep eux avoir un peu d'aide ???

Merci d'avance
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[taladris]

Salut,

Si A est une matrice symétrique , tu peux calculer explicitement les éléments diagonaux de A² en fonction des éléments et voir qu'il ont une expression sympa. Cela devrait t'aider à continuer ton problème.

Pour la signature, tu dois surement avoir vu que Mn(R) est somme directe de Sn(R) et de An(R) (ensemble des matrices antisymétriques). Sinon, il va falloir le redémontrer.

J'espère t'avoir donné quelques pistes utiles.

[invite1eae1089]

ouais j'imagine que vu que A egal a sa transposée alors je calcule trace(Axtransposée de A) donc trace(A²) = (somme i = 1...n (somme k = 1..n de Aik²)) donc cest une somme de carres donc cest positif ... Mais je ne vois pas comment montrer que c'est definie positif pour trace(AB)...
Peux tu m'aider ??

(Au passage en quoi connaitre l'égalite que je ne connais pas et quje je ne sais pas démontre... va m'aider pour la signature ????)

Merci d'avance encore

[invite1eae1089]

j'ai réussi a demontrer pour le definie positif ... J'ai aussi reussi a demontrer que c'etait non degeneree donc du coup la dimension de l'orthogonal c'est n(n-1)/2 qui est la dim de An(R) mais l'argument sur les dimensions je ne pense pas qu'il suffise... Comment je peux le démontrer ??
et comment faire pour la signature(j'au reussi a demontrer que An(R) et Sn(R) etait somme directe et donnait Mn(R)... tu peux me filer un dernier coup de main ??? ou quelqu'un d'autre ??? svp

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited776e97c]

Utilise ton produit scalaire pour montrer l'orthogonalité , par contre j'ai jamais entendu parler de signature.

[invite1eae1089]

oui mais pour montrer l'orthogonalité je veux bien utilise le produit scalaire mais je pense qu'ici ca ne m'avance pas beaucoup... lol ou alors je ne vois pas comment faire ...une autre idee ?????

Merci d'avance

[invited776e97c]

il est facile de voir qu'on a trAB=-trAB avec A appartenant a An(R) et B appartenant à Sn(R) et trAB=0

[invite1eae1089]

j'ai du mal a voir comment c'est facile à voir .. ..

[invited776e97c]

Je note T(A): transpose de A .
trAB=-trT(A)B=-trT(A)T(B)=-trT(BA)=-tr(BA)=-tr(AB)

Voila

[invite1eae1089]

ouais d'accord et de ce fait j'en déduis quoi ^^. ?

[invited776e97c]

Ben l'orthogonalite puisque ta justifier que toute matrice de An(R) appartient à l'orthogonale de Sn(R) donc An(R) inclus dans orthogonale de Sn(R) et tu complete par un argument de dimension.