Equation différentielle
voila je viens d'avoir un dm pour vendredi mais le truc c'est que je n'y arrive pas du tout
Exercice: un biologiste observe la croissance d'une population de bactéries en milieu fermé. La population initiale est 100 bactéries. La capacité maximale du milieu est 1000 bactéries
Soit f(t) le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en heures)
Partie A : Une première modélisation suppose que f est solution de l'équation (E1): y=0,07y
a) Résoudre l'équation (E1) (sa je sais faire)
b) Déterminer f(t) sachant que f(0)=100
c) Déterminer le nombre de bactéries au bout de 24heures.
d) Après combien de temps le nombre de bactéries atteint-il 500?
e) Déterminer la limite de f en +inf et conclure quant à la validité de ce modelé.
Partie B : Des observations plus fines conduisent a modéliser la situation par l'équation différentielle :
(E2):f=0,07f(1-10^-3 f) appelée équation logistique avec f(0)=100
étant donné qu'il est légitime de supposer que f(t) est différent de 0 pour tout t de R+, on pose g(t)=1/f(t) pour tout t de R
a) Calculer g(0)
b) Montrer que f est solution de (E2) si et seulement si g est solution de l'équation différentielle (E3): g'=-0,07g+0,00007
c) Résoudre (E3)
d) En déduire f(t) pour tout t de R+: On montrera alors que f(t)=1000/9exp(-0,07t)+1 sur R+
e) Déterminé les lim f(t) en +inf. Interprété ce résultat dans le contexte de l'expérience.
f) Étudier le sens de variation de f sur R+
g) Après combien d'heures, le nombre de bactéries atteint 500
Merci d'avance
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Envoyé par toutoune1810 