Bonjour, pourriez-vous m'aider, s'il vous plait, à résoudre la question suivante?
Soit f de R+ dans R une fonction continue par morceaux et possédant une limite L appartenant à R en + l'infini. Déterminer la limite quand X tend vers + l'infini de 1/X * l'intégrale de 0 à X de f(x).dx et de 1/X * l'intégrale de 0 à X de cos(x)*f(x).dx
Bonjour,
a vue, comme ca, il me semble qu'on peut commencer par écrire que
ou l est le limite de f a l'infini. Puis bidouiller avec la définition de la limite. Voire commencer par un petit changement de variable pour dégager le 1/X devant l'intégrale. J'ai rien rédigé, mais c'est la première idée qui me vient à l'esprit
oui, avec un chagement de variable
Pour X grand, le machin dans l'intégrale être controlé, et on obtient la limite. C'est pas très bien dit... mais ca marche, y'a plus qu'a l'écrire. Même en prenant une suite X_n qui tend vers l'infini, et en utilisant la convergence dominé si on a envi d'être brutaux.
Le second résultat m'a l'air plus subtil. Cela ne ressemblerai pas a ce les gens appellent souvent le lemme de Riemann-Lebesgue ?
Ca ressemble beaucoup à Cesaro, pourquoi ne pas utiliser la même méthode ? On commence par supposer la limite nulle, alors il existe un Xo tel que |f(t)|<epsilon et on découpe l'intégrale en deux : de 0 à Xo et de Xo à X
Bonjour,
ah c vrai que c bien d'avoir un peu de culture maths... j'avais complétement oublié les moyennes de Cesaro ! C'est vrai que c'est l'analogue pour les intégrales. Cela revient à écrire ce j'ai écrit dans le premier message, et a "bidouiller" avec les epsilons. C'est bien ce que j'entendai par la : couper le machin en deux, etc...
Avec le changement de variable c'est un peu plus rapide pour les gens qui n'aiment pas les epsilon.
Mais sans réfléchir, a priori, cela marche pas pour le truc avec le cosinus. Puisqu'on a pas de limite à l'infini de f*cos, sauf si f tend a l'infini vers zéro. D'ailleur c'est une bonne remarque : si f tend zéro, le second résultat découle immédiatement du premier !
En utilisant ceciEnvoyé par tabasco
avec ce que vient de dire xav75
il est facile de conclure.
