Partie compacte

[loic7]

Bonjour je ne comprend pas vraiment la notion de partie compacte. Entre autre je ne vois pas comment démontrer qu'une partie est compacte.
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[Thorin]

on montre généralement qu'une partie est compacte en disant :
-soit qu'elle est fermée et bornée (en dimension finie uniquement)
-soit que de toute suite, on peut extraire une sous-suite convergeant dans la partie
-soit que c'est l'image continue d'un compact
-soit que c'est un fermé inclus dans une partie compacte
-soit via Borel Lebesgue, mais tu n'a sans doute pas droit d'utiliser ce théorème.

voilà pour ce qui sert le plus souvent, me semble-t-il.

[thepasboss]

Bonsoir,

Il y'a des espaces qui ont la propriété "fermé borné => compact" mais qui sont de dimension infini thorin ^^ Je pense notamment à l'ensemble des fonctions holomorphe (méromorphe ? petit trou de mémoire) munis de la topologie de la convergence uniforme sur les compact de C. Néanmoins si on a cette propriété, et que l'espace est de dimension infini, alors la topologie correspondante ne peut être induite par une norme.

Sinon, pour reprendre un exemple déjà lu sur le forum. L'idée sous jacente à la définition de la compacité (du point de vue séquentielle), c'est que lorsque tu te te déplace par bond dans ton ensemble (que tu prend une suite d'éléments de cet ensemble) tu va fatalement finir sauter pas loin d'un endroit ou tu auras déjà atteris. En gros, il va y avoir des éléments de l'ensemble où les points de la suite vont se concentrer. Ce qui implique que ces ensembles ne soit pas trop gros et sans trou.

[Thorin]

Il y'a des espaces qui ont la propriété "fermé borné => compact" mais qui sont de dimension infini thorin ^^ Je pense notamment à l'ensemble des fonctions holomorphe (méromorphe ? petit trou de mémoire) munis de la topologie de la convergence uniforme sur les compact de C. Néanmoins si on a cette propriété, et que l'espace est de dimension infini, alors la topologie correspondante ne peut être induite par une norme.

Je suis parti du principe que sa question ne concerne que le programme de L1

[A voir en vidéo sur Futura]

[thepasboss]

Je n'en doute pas, mais je n'aime pas trop le fait de dire quelque chose de faux sous prétexte que la personne concernée ne rencontrera pas les bizarrerie topologiques avant la L3 voir le master.
Il me semble au contraire qu'il est important de les exhiber au plus tôt pour montrer que les maths regorgent de choses étranges et que l'intuition est assez souvent trompeuse (paradoxe de banach tarski quand tu nous tiens...)

[Thorin]

Chipotage :
j'ai pas dit qu'en dimension infinie, ça n'arrive jamais, mais qu'en dimension infinie, on (les taupins) ne montre pas la compacité comme ça, ce qui est vrai