matrice M de M3

[invitea19f439a]

bonjour a tous, j'ai un petit probleme avec un exo je n'arrive pas à debuter, j'aimerais savoir si quelqu'un pourrait m'aider svp: voici l'énoncé
Soit f un endomorphisme de R3 dont la matrice M dans la base canonique verifie M²=0
1) comparer kerf et Imf
2) en deduire les possibilités pour les dimensions de kerf et imf
3)montrer alors que soit M=0 soit M est de la forme P*(une matrice dont tous les elements sont nuls exeptés les deux premiers termes de la derniere colonne nommés a et b)*(P-1)
P est une matrice inversible de M3(R) et P-1 est l'inverse de P
4) determiner alors toute les matrices carrées M de M3(R) telles que M²=0
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[thepasboss]

Bonsoir,

si tu passe au endomorphismes, tu as que fof = 0, d'où pour tout y dans im(f), f(y) = f(f(z)) = 0 (avec z un antécédant de y)

Donc y appartient à Ker(f), donc en résumé Im(f) est inclu dans ker(f).
En utilisant le théorème du rang et en faisant une petite discussion sur les dimensions de ker(f) et im(f)... je te laisse continuer ^^

[invitea19f439a]

bonsoir a vous, merci beaucoup pour ces indications

[invitea19f439a]

pour le 3) je comprends pas comment faire intervenir la matrice P

[A voir en vidéo sur Futura]

[thepasboss]

Travailler avec f ou M revient au même ^^

Donc pour la regarde les deux cas que tu as :

Soit rg(f) est nul, dans ce cas f = 0, ie M = 0.
Soit rg(f) = 1, dans ce cas si tu construis une base comme suit :
Tu prend deux vecteur indépendant de ker(f) e1 et e2, et que tu complète cette famille de deux vecteur avec un troisième vecteur, e3, pour que (e1,e2,e3) forme une base, quel va être la forme de la matrice M dans cette base ?

[invitea19f439a]

f va etre de la forme d'une matrice triangulaire?

[thepasboss]

Quel est la définition de la matrice d'un endomorphisme dans une base B donnée ?

[invitea19f439a]

c'est une matrice carrée dont la ieme colonne est la matrice colonne des coordonnées de f(ei) dans la base B

[thepasboss]

Bien, et appliqué à la base (e1,e2,e3), ça nous donne quoi ? (par rapport à l'énnoncé de la question 3)

[invitea19f439a]

je ne vois pas, il faut faire intervenir le a et le b, je suppose mais je ne vois pas comment

[thepasboss]

et bien f(e1) = 0 (e1 est dans ker(f) )
f(e2) = 0 (idem)
et f(e3) = x*e1 + y*e2 + c*e3

On voit facilement que c doit être nul sinon on aurait pas que f(f(e3)) = 0

donc f(e3) = x*e1 + y*e2, et l'un au moins des x ou des y n'est pas nul car f n'est pas nulle.

Donc la matrice aura cette forme :

0 0 x
0 0 y
0 0 0

Si on pose a = x et b = y...

[invitea19f439a]

merci bcp j'ai compris j'avais pas vu l'interet de faire intervenir une base xD