Intégrale

[invite92876ef2]

Bonjour

Je dois calculer l'intégrale de

racine de(x) *cos(nx), n est un entier positif.

Quel changement de variable suis-je amené à effectuer ?
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[invite8241b23e]

Salut !

Je pense que tu devrais prendre la forme exponentielle complexe pour le cos et metre la racine à la puissance 1/2.

[invite92876ef2]

ensuite prendre la partie réelle de l'intégrale.
je fais un intégration par partie, n'est-ce pas ? je dérive quoi et primitive quoi ?

[inviteaf1870ed]

Tu n'arriveras pas à trouver une formulation simple de ton intégrale. Fais le changement de variable t²=x, et fais apparaitre une intégrale de Fresnel.
cf http://mathworld.wolfram.com/FresnelIntegrals.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite92876ef2]

Et qu'est-ce que j'en fait de cette intégrale de Fresnel ?

Et puis, je ne peux donc pas calculer, par exemple, l'intégrale de sinx/x ? Même si j'ai l'expression de la somme de sinx/x ?

[invitebfbf094d]

Je pense qu'il est possible (en fait je l'ai fait) d'intégrer en passant effectivement par les complexes, en considérant lintégrale :



Notre intégrale sera donc la partie réelle de J. Pour calculer J, on peut le faire par parties. Je te laisse faire , en posant par exemple , etc. Après ce n'est que du calcul. Il te suffira de séparer le résultat en une partie réelle et une partie imaginaire pour obtenir l'intégrale cherchée.

[invite0eb4fbfe]

Je pense qu'il est possible (en fait je l'ai fait) d'intégrer en passant effectivement par les complexes, en considérant lintégrale :



Notre intégrale sera donc la partie réelle de J. Pour calculer J, on peut le faire par parties. Je te laisse faire , en posant par exemple , etc. Après ce n'est que du calcul. Il te suffira de séparer le résultat en une partie réelle et une partie imaginaire pour obtenir l'intégrale cherchée.

Mais cos(x) égale pas exp(inx) !!!

[invitebfbf094d]

gné ? regardes l'intégrale de départ, c'est cos(nx). Et je ne dis pas que cos(nx)=exp(inx). Ce n'est qu'un intermédiaire pour le calcul. Le résultat final s'obtient en prenant la partie réelle de mon intégrale

[inviteaf1870ed]

Je pense qu'il est possible (en fait je l'ai fait) d'intégrer en passant effectivement par les complexes, en considérant lintégrale :

Je suis surpris, peux tu préciser tes calculs ?

[invitebfbf094d]

J'ai oublié le dx sous l'intégrale bien sûr ... c'était juste un oubli. Donc



La première intégrale est ce qu'on cherche. Si l'on calcule l'intégrale J sous forme complexe, on obtiendra un résultat qui contient une partie réelle et une partie imaginaire. La partie réelle correspond alors à l'intégrale recherchée.

[inviteaf1870ed]

Oui oui, mais comment calcules tu l'intégrale complexe J ?

[invitebfbf094d]

Je l'ai mentionné : en intégrant par parties... Je laisse l'intéressé chercher, à moins qu'il y arrive pas, dans ce cas je donnerai la réponse.

[invite10a6d253]

moi non plus, je ne vois pas comment une IPP donnera quoi que ce soit

[invite92876ef2]

Je n'y suis guère parvenu de même...

[inviteaf1870ed]

Pour être plus clair : ton intégrale est de la forme x^p*exp(iqx) une IPP fera varier la puissance du x. Mais comme c'est une puissance fractionnaire tu n'arriveras jamais à éliminer le terme, ou à retomber sur ton intgérale initiale.

Donc pour moi la seule solution est le changement de variable, et l'utilisation d'une fonction spéciale, sinus intégral ou fonction de Fresnel.

[invitebfbf094d]

J'ai fait une double intégration par parties pour tenter d'isoler l'intégrale , si je note , et effectivement, j'ai cru obtenir un résultat, mais j'ai refait les calculs devant votre scepticisme;et j'ai effectivement fait une erreur de signe : ca se simplifie tellement bien que j'obtiens ... Technique inutilisable donc : mea culpa.

[invite92876ef2]

Mais je ne connais pas la résolution de l'intégrale de Fresnel ou celle de l'intégrale "sinus" est-ce que l'on pourrait m'aider s'il vous plaît ?

Merci je vous en serais reconnaissant

[invite10a6d253]

Ce qu'a expliqué Ericcc, c'est que ton intégrale n'a pas de forme analytique simple. Au mieux, on peut l'exprimer en termes de fonctions spéciales (les fameuses fonctions de Fresnel).
C'est bien la primitive et non l'intégrale de 0 à infty que tu veux ?

[inviteaf1870ed]

Il n'y a pas de solution explicite à ton problème, regarde le lien que je t'ai fourni.
Regarde aussi ici : http://integrals.wolfram.com/index.jsp

[invite92876ef2]

C'est cool ce site !

Merci !

Maintenant, je vous dis que je connais l'expression de la somme de (sin²(nx)/n²) de 0 à +oo.

Comment puis-je calculer l'intégrale correspondante ?

Merci encore.

[invite10a6d253]

l'intégrale de quoi ?