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Points fixes



  1. #1
    Thoy

    Points fixes


    ------

    Bonjour

    J'ai un petit souci sur un exercice, voici mon énoncé j'espérais que vous m'aideriez...

    Soit f de R dans R une application contractante, démontrer que f admet un unique point fixe. On pourra majorer |f(x)-f(0)|.


    -----

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  4. #2
    Thorin

    Re : Points fixes

    f est contractante : il existe ,

    pour l'unicité, je te suggère de prendre deux points fixes a et b distincts et d'écrire que et aussi

    pour l'existence, tu peux prouver que la suite définie par est de Cauchy, en commençant par majorer
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  5. #3
    Thoy

    Re : Points fixes

    Bonsoir Thorin

    J'ai déjà écrit tout ça, mais je n'arrive pas à le mettre en place pour démontrer que c'est unique :/

    Et je n'ai pas vu les suites de Cauchy

  6. #4
    God's Breath

    Re : Points fixes

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    pour l'unicité, je te suggère de prendre deux points fixes a et b distincts et d'écrire que et aussi
    [/TEX]
    Pourquoi supposer a et b distincts ?
    Sans cette hypothèse, il faut rectifier la majoration : , d'où , et la règle des signes fournit et la conclusion.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  8. #5
    Thoy

    Re : Points fixes

    La démonstration je la connais, c'est une démonstration du cours, ce qui m'intrigue c'est que dans le cours, c'est défini pour une application définie d'un segment dans un autre segment.
    Or là, l'application est de R dans R...

  9. #6
    Thorin

    Re : Points fixes

    c'est un exo que ton prof vous a donné à faire, ou tu as trouvé cet énoncé par tes propres moyens ?

    Pourquoi supposer a et b distincts ?
    j'ai cette habitude de mettre des pseudo raisonnements par l'absurde un peu partout, qui est très tenace...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

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  11. #7
    Thoy

    Re : Points fixes

    c'est un exo de notre prof

  12. #8
    Thorin

    Re : Points fixes

    d'accord, dans ce cas, je n'essaie plus de démontrer le cas plus général que ton exo.

    on écrit f(0)-k|x|<f(x)<f(0)+k|x|
    d'où f(0)-k|x|-x<f(x)-x<f(0)+k|x|-x
    pour x grand, positif, on a :
    f(x)-x<f(0)+x(k-1)
    donc f(x)-x tend vers moins l'infini en plus l'infini
    pour x petit, négatif,

    f(0)+x(1-k)<f(x)-x
    donc f(x)-x tend vers plus l'infini en moins l'infini.


    f est lipschtzienne, donc continue, donc obéit au TVi, d'autre part.

    on peut alors conclure.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

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