J'ai un petit souci sur un exercice, voici mon énoncé j'espérais que vous m'aideriez...
Soit f de R dans R une application contractante, démontrer que f admet un unique point fixe. On pourra majorer |f(x)-f(0)|.
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12/01/2010, 20h52
#2
invitec317278e
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Re : Points fixes
f est contractante : il existe ,
pour l'unicité, je te suggère de prendre deux points fixes a et b distincts et d'écrire que et aussi
pour l'existence, tu peux prouver que la suite définie par est de Cauchy, en commençant par majorer
12/01/2010, 20h57
#3
invite3424b43e
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Re : Points fixes
Bonsoir Thorin
J'ai déjà écrit tout ça, mais je n'arrive pas à le mettre en place pour démontrer que c'est unique :/
Et je n'ai pas vu les suites de Cauchy
12/01/2010, 21h04
#4
invite57a1e779
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Re : Points fixes
Envoyé par Thorin
pour l'unicité, je te suggère de prendre deux points fixes a et b distincts et d'écrire que et aussi
[/TEX]
Pourquoi supposer a et b distincts ?
Sans cette hypothèse, il faut rectifier la majoration : , d'où , et la règle des signes fournit et la conclusion.
Aujourd'hui
A voir en vidéo sur Futura
12/01/2010, 21h17
#5
invite3424b43e
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Re : Points fixes
La démonstration je la connais, c'est une démonstration du cours, ce qui m'intrigue c'est que dans le cours, c'est défini pour une application définie d'un segment dans un autre segment.
Or là, l'application est de R dans R...
12/01/2010, 21h25
#6
invitec317278e
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Re : Points fixes
c'est un exo que ton prof vous a donné à faire, ou tu as trouvé cet énoncé par tes propres moyens ?
Pourquoi supposer a et b distincts ?
j'ai cette habitude de mettre des pseudo raisonnements par l'absurde un peu partout, qui est très tenace...
12/01/2010, 21h32
#7
invite3424b43e
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Re : Points fixes
c'est un exo de notre prof
12/01/2010, 22h22
#8
invitec317278e
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Re : Points fixes
d'accord, dans ce cas, je n'essaie plus de démontrer le cas plus général que ton exo.
on écrit f(0)-k|x|<f(x)<f(0)+k|x|
d'où f(0)-k|x|-x<f(x)-x<f(0)+k|x|-x
pour x grand, positif, on a :
f(x)-x<f(0)+x(k-1)
donc f(x)-x tend vers moins l'infini en plus l'infini
pour x petit, négatif,
f(0)+x(1-k)<f(x)-x
donc f(x)-x tend vers plus l'infini en moins l'infini.
f est lipschtzienne, donc continue, donc obéit au TVi, d'autre part.