Points fixes

[Thoy]

Bonjour

J'ai un petit souci sur un exercice, voici mon énoncé j'espérais que vous m'aideriez...

Soit f de R dans R une application contractante, démontrer que f admet un unique point fixe. On pourra majorer |f(x)-f(0)|.


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[Thorin]

f est contractante : il existe ,

pour l'unicité, je te suggère de prendre deux points fixes a et b distincts et d'écrire que et aussi

pour l'existence, tu peux prouver que la suite définie par est de Cauchy, en commençant par majorer

[Thoy]

Bonsoir Thorin

J'ai déjà écrit tout ça, mais je n'arrive pas à le mettre en place pour démontrer que c'est unique :/

Et je n'ai pas vu les suites de Cauchy

[God's Breath]

pour l'unicité, je te suggère de prendre deux points fixes a et b distincts et d'écrire que et aussi
[/TEX]

Pourquoi supposer a et b distincts ?
Sans cette hypothèse, il faut rectifier la majoration : , d'où , et la règle des signes fournit et la conclusion.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thoy]

La démonstration je la connais, c'est une démonstration du cours, ce qui m'intrigue c'est que dans le cours, c'est défini pour une application définie d'un segment dans un autre segment.
Or là, l'application est de R dans R...

[Thorin]

c'est un exo que ton prof vous a donné à faire, ou tu as trouvé cet énoncé par tes propres moyens ?

Pourquoi supposer a et b distincts ?

j'ai cette habitude de mettre des pseudo raisonnements par l'absurde un peu partout, qui est très tenace...

[Thoy]

c'est un exo de notre prof

[Thorin]

d'accord, dans ce cas, je n'essaie plus de démontrer le cas plus général que ton exo.

on écrit f(0)-k|x|<f(x)<f(0)+k|x|
d'où f(0)-k|x|-x<f(x)-x<f(0)+k|x|-x
pour x grand, positif, on a :
f(x)-x<f(0)+x(k-1)
donc f(x)-x tend vers moins l'infini en plus l'infini
pour x petit, négatif,

f(0)+x(1-k)<f(x)-x
donc f(x)-x tend vers plus l'infini en moins l'infini.


f est lipschtzienne, donc continue, donc obéit au TVi, d'autre part.

on peut alors conclure.