F et G supplémentaire

[invite02f19616]

Bonjour, j'ai eu un exo en colle tout a l'heure qu'on a pas fini car le colleur voulai me voir sur d'autres points du programme. Et j'aimerai que vous m'aidiez à le finir.
Donc E un esp préhilbertien des fonctions continues sur [0,1] muni du produit scalaire (f|g)=int de 0 a 1 de (fg+f'g')dt
F={f€E tq f(0)=f(1)=0)
G={g€E tq g''=g}
il faut montrer que F et G sont supplémentaires orthogonaux

Pour l'orthogonalité c'est bon, mais je n'ai pas réusdi a montrer supplémentaire (sachant qu'ils sont orth il suffit de montrer F+G=E en fait on a une inclusion à faire l'autre est évidente)
Je sais qu'il faut utiliser cette caractérisation de G={g=a.exp(t) + b.exp(-t)}
merci de votre aide!
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[invitec317278e]

tu peux procéder par analyse synthèse :

soit h dans E
si h=f+g, alors, h(0)=a+b et h(1)=ae+b/e
tu résous, tu trouves a et b en fonction de h(0) et h(1)
tu peux alors écrire f=h-g avec g définis par ce qu'on vient de calculer, puis faire la synthèse.

[invite02f19616]

Yeahhh!! Bien vu! J'etai parti pour faire comme ça aussi mais je n'étai plus très frais... Merci bien!