Trop de complexes !!!

[invitecb703b17]

Bonjour,
J'ai besoin de votre aide, je m'exerce en ce moment avec des exercices corriges (exercices et problèmes de math 1er annee MPSI-PCSI-PTSI hachette superieur).
Et malgrés les corrigés j'ai des soucis pour savoir comment passer d'une équivalence a une autre dans 2 exercices, c'est sur les complexes comme vous pouvez vous en doutez.

Ex1 :

on a z=u+iv
on cherche a trouver les conditions sur uv pour que |z|²=u²+v²
Dans le corrige il est ecrit a la premiere ligne:
"alors |z|²=(u+iv)(conjugué de z-iconjugué de v)"

(je ne sai pas commment faire la barre au dessus d'une variable pour dire conjugé)

Ex2 :

on a :
(i) alpha+beta+gamma=1
(ii) alpha*beta*gamma=1
Et on cherche a trouver les nombres complexes alpha,beta et gamma.
Dans le corrige on a :

on pose alpha=E(ia),beta ...
d'ou alphabetagamma=1 donne E(i(a+b+c))=1 on obtient a+b+c=0 mod[2pi].
Ca je comprend ensuite on a :
de (i) :
(2) cos a + cos b + cos c=1
(je ne comprend pas comment il arrive a ca, on peut ecrire eia avec des cos et sin puir utiliser euler pour transformer les sin mais on obtient des somme d'exponentiel et on peut pas les faire partir)
a savoir que la ligne suivante du corrige est :
(3) sin a + sin b + sinc=0 que je comprend tout a fait car si on fait la manipulation juste au dessus on voit que (2) -> implique (3) mais je sais pas passe de (i) a (2)
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[invited231abb3]

Bonjour,

dans l'ex 2, pour démontrer que :
cos a + cos b + cos c=1
sin a + sin b + sin c=0
n'utilises pas les formules d'euler, utilise simplement exp(ia)=cos a + i sin b, exp(ib)=... et tu remplaces dans l'équation (i).
Et ensuite, tu identifies partie réelle et imaginaire en disant que 2 nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire (bla bla). tu obtiens donc les 2 égalités demandées.

pour l'exo 1, je vois pas trop ce qu'on demande. u et v sont réels ou complexes ?

[invite986312212]

pour 1) la relation est vraie pour u et v réels (c'est peut-être même la définition de la norme de z) et il faut voir ce qui se passe quand u et v sont complexes. Tu dois d'abord démontrer que (si ce n'est pas la définition) ensuite tu dois montrer ou savoir que est un automorphisme du corps des complexes.

[invitecb703b17]

REbonjour,

Merci pour vos reponse néanmoins ca ne m'aide pas beaucoup :

Pour l'exercice 1 :

En tranformant e(ia) en cos a + i sin a dans (i)
on obtient :

(i') cos a + cos b + cos c + i(sin a+sin b+sinc)=1

Et la je ne vois pas on utilise quelle regle pour en venir a :

cos a + cos b + cos c= 1
sin a + sin b + sin c=0

Vu que ce n'est pas un produit pourquoi et comment / d'apres ou on a le droit de le décomposer comme ca ???

Pour l'exercice 2 je n'ai pas du tout compris la reponse.
Je demande juste d'apres quell regle dans mon corrige on passe de

z=u+iv
à
|z|²=(u+iv)(ubarre-ivbarre)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

quel est le conjugué de u+iv (u et v complexes) ?

[rajamia]

quel est le conjugué de u+iv (u et v complexes) ?

c'est conjugué(u)-iconjugué(v)

Désolée ambrosio c'est joiche qui devait te répondre, j ai essayé de suprimmer le msg et je n ai pas pu.

[invited231abb3]

Pour venir à
cos a + cos b + cos c= 1
sin a + sin b + sin c=0

On utilise le fait que z=z' si et seulement si (Re(z)= Re(z') ET Im(z)=Im(z') )
Comme tu as cos a + cos b + cos c + i(sin a+sin b+sin c)=1
tu as aussi Re[cos a + cos b + cos c + i(sin a+sin b+sin c)]=Re[1] d'où cos a + cos b + cos c = 1
Et Im[cos a + cos b + cos c + i(sin a+sin b+sinc)] = Im[1] d'où sin a+sin b+sin c = 0

[invitecb703b17]

Merci pour vos reponses, je crois maintenant que c'est pratiquement tout bon.

Je recapitule :

Ex1

avec z=u+iv on a evidemment z(barre)=u-iv mais on a aussi
z(barre)=u(barre)-iv(barre) et cette derniere egalite je ne la connaissais pas.

Ex2

je comprend bien que
Re[cos a+cos b+ cos c+ i(sin a + sin b+sin c]=Re[1]
devient cos a + cos b + cos c= 1
car les imaginaires on en veut pas y parte et Re[1] c'est 1

cependant pour
Im[ cos a + cos b+cos c +i(sin a +sin b + sin c)]=Im[1]
je comprend qu'on vire les reels et qu'on obtienne
sin a+sin b+sin c=Im[1]
Mais je ne savais pas non plus que Im[1]=0
(Je m'excuse je reprend les maths apres 5/6 ans apres avoir arrete)

Cordialement,

jean

En tout cas merci a vous deux, et je v retourner a mes exos .