question sur les groupes

[invite613090e7]

bonjour tlm, je rame sur un exercice et je voudrais avoir votre avis :

si H un sous ensemble fini d'un groupe G, stable pour la loi multiplicative, montrer que H est un sous groupe de (G, .) puis donner un contre exemple dans le cas de cardinal infini.

ce que j'ai pu écrire c'est :

¤ H stable pour la loi . => quel que soit x,y appartenant a H x.y appartient a H
¤ H sous groupe ssi : _ H#o
_ e=1 appartient à H
_ quelque soit x,y appartenant a H; x(y^-1) appartient a H.

un peu d'aide ne serait pas de refus, je vous remercie d'avance
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[Médiat]

Bonjour,

si H un sous ensemble fini d'un groupe G, stable pour la loi multiplicative, montrer que H est un sous groupe de (G, .) puis donner un contre exemple dans le cas de cardinal infini.

Si H = ensemble vide, qui est bien stable par multiplication, et qui est bien fini, la phrase ci-dessus est fausse.

[invite986312212]

Médiat a raison, il faut supposer H non vide.
il contient donc un x. L'idée est de regarder la suite des puissances de x: x, xx, xxx, xxxx, etc. Comme H est stable, elles sont toutes dans H et comme H est fini, tu vas finir par retomber sur une que tu as déjà vue. Donc tu as trouvé un élément de H "neutre", au moins parmi les éléments de cette suite.
A toi de poursuivre dans cette veine.

[invite613090e7]

Bonjour,
Si H = ensemble vide, qui est bien stable par multiplication, et qui est bien fini, la phrase ci-dessus est fausse.

c'est vrai que c'est pertinent comme remarque, et que ça ne figurer pas sur l'exercice.

je vais essayer de creuser ton idée ambrosio méme si j'en voit pas vraiment le bout.

Merci Bcp a vous deux

[A voir en vidéo sur Futura]