Puissance matrice et limites

[invite87ed8069]

Bonjour,
On me demande de calculer la puissance d'une matrice diagonale et d'en donner sa limite quand la puissance tend vers l'infini.

Quelle présentation je dois adopter ? Car tous les nombres sont [0 , 1[ et tendent par conséquent vers 0.
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[inviteaf1870ed]

Si a1,a2.....an sont les valeurs de ta diagonale, et A ta matrice, tu peux écrire :

A^p=Diag[a^p₁;a^p₂;.....;a^p_n]

et lim Aⁿ=0

[invite87ed8069]

Merci de ta réponse, par contre il y a une matrice non diagonale, mais je vais faire comme tu l'as écrit, lim M^n = 0

[inviteaf1870ed]

Si la matrice n'est pas diagonale, le résultat est moins évident. Par exemple la matrice suivante ne tend pas vers zéro !

0 -1/2
1/2 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite87ed8069]

bas justement j'ai quelque chose comme ça, mais pour moi ca tend vers 0 même si c'est 0- c'est quand même 0. Moi dans mes résultats en tout cas ce n'est pas (-1/2)^n mais plutôt -(1/2)^n.

[inviteaf1870ed]

Mais la matrice que je t'ai donnée n'est pas diagonale ! Calcule A² pour t'en rendre compte

[invite87ed8069]

ah oui désolé...

[invite87ed8069]

J'ai calculé
Ensuite on me demande de calculer et sa limite et la limite de
J'ai calculer
N'étant plus sur du résultat, comment puis je obtenir ?


Est ce que :
?

[inviteaf1870ed]

Je ne comprends rien à ce que tu fais.

Tu as une matrice quelconque M. Tu la diagonalises (quand c'est possible). C'est à dire que tu trouves une base de vecteurs propres Xi tels que MXi=aiXi, où ai est un scalaire.

Ensuite tu écris ta matrice M dans cette base, elle s'écrit comme une matrice diagonale D, où les coefficients non nuls sont uniquement sur la diagonale principale (du haut à gauche au bas à droite).

As tu fait ce calcul ? Quelle matrice diagonale trouves tu pour D ?

Ensuite tu élèves D à la puissance n. C'est facile.

Montre nous ce que tu as fait jusque là. On verra ppour la suite.

[invite87ed8069]

Je ne comprends rien à ce que tu fais.

Tu as une matrice quelconque M. Tu la diagonalises (quand c'est possible). C'est à dire que tu trouves une base de vecteurs propres Xi tels que MXi=aiXi, où ai est un scalaire.

Ensuite tu écris ta matrice M dans cette base, elle s'écrit comme une matrice diagonale D, où les coefficients non nuls sont uniquement sur la diagonale principale (du haut à gauche au bas à droite).

As tu fait ce calcul ? Quelle matrice diagonale trouves tu pour D ?

Ensuite tu élèves D à la puissance n. C'est facile.

Montre nous ce que tu as fait jusque là. On verra ppour la suite.

Oui en faite je prends d'autres exercices comme exemple, c'est pour ça que j'ai un peu de mal.
Alors oui j'ai trouvé la matrice diagonale D et elle est juste car je retrouve bien les valeurs propres de M dans sa diagonale.
Donc jusqu'ici tout est bon.
Ensuite là où j'avais un doute c'est soit j'élevais M à la puissance soit D à la puissance.

Selon ce que tu dis, j'élève donc D à la puissance puis je fais
En faite j'ai fait le contraire ! j'ai élevé M à la puissance pour trouver D.

[invite87ed8069]

ok tout est bon Merci à tous.