Base des fonctions de Boole

**andrew_77** · 16/01/2010, 01h39

Bonsoir !!

On travaille sur $\text{[math]}$ l'espace des fonctions de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ est le corps à deux éléments 0 et 1).
Pour tout u dans $\text{[math]}$ , on définit la fonction mônome $\text{[math]}$ par :
pour tout x dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

en première question, il faut décomposer $\text{[math]}$ en somme de mônomes (0 est le 0 de $\text{[math]}$ ) : j'obtiens :
$\text{[math]}$ ; jusque là, ça va.

en deuxième question, il faut décomposer $\text{[math]}$ en sommes de mônomes (a dans $\text{[math]}$ ) :
là j'obtiens évidemment par la première question : $\text{[math]}$ mais j'aimerais obtenir clairement : $\text{[math]}$ = Somme de $\text{[math]}$ (égalité de fonction et non égalité en un point).
Voilà, je ne vois pas du tout !!

Ensuite, de là, il faut en déduire que le système $\text{[math]}$ pour u dans $\text{[math]}$ forme une base de $\text{[math]}$ ... je ne vois pas non plus.

Si quelqu'un peut m'aider, ça serait super.
Merci beaucoup

invite57a1e779 · 16/01/2010, 11h11

Bonjour,

Il est difficile de répondre sans savoir qui est $\text{[math]}$ , mais la formule ne me semble avoir aucun sens.

On dispose d'éléments de $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ; le monôme $\text{[math]}$ défini par : $\text{[math]}$ est une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Par addition d'applications de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , donc l'égalité avec $\text{[math]}$ tient la route.

Par contre $\text{[math]}$ est le produit de l'élément $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ par le $\text{[math]}$ -uplet $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , et c'est par conséquent le $\text{[math]}$ -uplet $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ .

Ta formule $\text{[math]}$ n'a donc aucun sens, le second membre est élément de $\text{[math]}$ , alors que le premier membre est élément de $\text{[math]}$ puisque, si j'ai bien compris, $\text{[math]}$ est élément de $\text{[math]}$

**andrew_77** · 16/01/2010, 11h19

Bonjour God's Breath.
L'égalité $\text{[math]}$ a bien du sens puisque $\text{[math]}$ est une fonction de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ donc évaluée en x est un élément de $\text{[math]}$ . La fonction $\text{[math]}$ va elle aussi de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ donc on l'évalue au point $\text{[math]}$ ça donne aussi un élément de $\text{[math]}$ . Donc mon égalité est une égalité dans $\text{[math]}$ .

**andrew_77** · 16/01/2010, 11h23

Je précise aussi que $\text{[math]}$ est la fonction de support $\text{[math]}$ qui vaut 1 en a et 0 ailleurs.

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