Urne de Polya

[invitee75a2d43]

Bonjour,
J´ai un exo de probas que je n´ai pas réussi à résoudre. À en croire Internet, ça a l´air d´être un problème classique, mais je n´ai pas trouvé la solution. Voilà:

Une urne contient r boules rouges et n boules noires. Une boule est choisie au hasard, on note sa couleur, et on la remet avec d boules supplémentaires de la même couleur. Puis on recommence la même procédure aussi souvent que nécessaire.

J´ai réussi à résoudre les questions suivantes:
Trouver la probabilité poure que:
a) la seconde boule tirée soit noire:

b) la première boule est noire, sachant que la seconde est noire:


La question qui me pose problème est la suivante: On note N_m l´évènement selon lequel la m-ième boule tirée est noire. Montrer que P(N_m) = P(N₁).

La première chose qui m´est venue à l´idée (pour tout dire la seule) est de prouver le truc par réccurence. J´ai donc sans difficulté prouvé que P(N₂) et P(N₃) sont:

donc égaux à P(N₁).

À partir de là je cafouille, car même en supposant la propriété vérifiée pour P(N_m), pour calculer P(N_m+1), je dois considérer tous les tirages précédants, pas seulement P(N_m) pour savoir combien de boules noires et de boules rouges sont dans l´urne. J´ai bien essayé de considérer qu´il y a n + k₁.d boules noires et r + k₂.d boules rouges - avec k₁ + k₂ = m mais je n´arrive à aucun résultat. Si quelqu´un a une idée...

Merci d´avance.

Christophe
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[inviteaf1870ed]

On ne pourrait pas montrer que P(Nm)=P(Nm-1), en calculant P(Nm) sachant Nm-1 ?

[invite986312212]

il me semble que si P(N2)=P(N1) ça implique ipso facto que P(Nm)=P(N1) puisqu'à chaque étape, on est dans la même situation qu'au début (c'est markovien)

[invitee75a2d43]

il me semble que si P(N2)=P(N1) ça implique ipso facto que P(Nm)=P(N1) puisqu'à chaque étape, on est dans la même situation qu'au début (c'est markovien)

Bon non puisqu´on n´a pas le même nombre de boules. Je peux pas te dire si c´est markowien vue que j´en suis pas encore là.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Je suppose que la propriété est vraie jusqu'au rang m

Si j'appelle n(m) et r(m) le nombre de boules noires et rouges à l'étape m, n'a-t-on pas P(Nm)=n(m)/n(m)+r(m)=n/n+r par hypothèse de récurrence.
Mais on sait aussi que n(m)+r(m)=n+r+(m-1)d.

Ca nous donne le nombre de boules rouges et noires au rang m. Ensuite il est facile de trouver quel est le nombre au rang n+1

[invitee75a2d43]

il me semble que si P(N2)=P(N1) ça implique ipso facto que P(Nm)=P(N1) puisqu'à chaque étape, on est dans la même situation qu'au début (c'est markovien)

Ah mais oui mais bien sûr!! Tu as raison, j´avais pas assez réfléchi à ta réponse. Effectivement, c´est le même model, sauf que les paramètres changent: r´ = r + k₁.d et n´= n + k₂.d

La solution est tellement simple que je l´avais pas vue. Aucun calcul nécessaire.

Merci pour votre aide.

Mais qu´est-ce qu´on appelle Markovien? Quand on change de paramètres sans changer de model?

[invite986312212]

désolé de te décevoir, mais je crois que ma "démonstration" était très fumeuse...
il demeure vrai que ce processus est une chaîne de Markov.
markovien signifie que la loi de Xn sachant X1,..,X(n-1) est égale à la loi de Xn sachant X(n-1). En termes imagé: l'information du passé est contenue dans la dernière valeur (le "passé immédiat").