Equation différentielles à plusieurs variables recalcitrante

[invite01087e88]

Bonjour à toutes et tous,

Je fais appel aux forts en maths de ce forum (je sais qu'il y en a) car j'ai une équation différentielle qui me résiste depuis deux jours :
alpha*(h+Cp*diff(T(r,t),t))*r^ 2+beta*diff(T(r,t),r)=P
(voir pièce jointe car je ne sais plus comment "écrire en maths" avec le nouveau forum, désolé...).

Pour le contexte :
- Il s'agit d'une equation résultant de l'écriture de la conservation de l'energie dans le cadre d'un problème thermique,
- T(0,0)=To
- T tend vers Tambiante lorsque r tend vers l'infini,
- T doit avoir une limite finie lorsque t tend vers l'infini.

J'ai tenté la séparation de variable, sans succès. Le problème est le facteur en r² présent en dehors de la fonction T(r,t)...

Si quelqu'un a une idée (la prépa c'était il y a plus de 10 ans, je suis rouillé !), je suis intéressé !

Merci par avance !

Cdt,

Ravjul.
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[inviteaf1870ed]

Après la séparation des variables, tu peux résoudre l'équation différentielle en la variable t, non ? Elle semble etre de la forme
AdT/dt+BT=C, avec A, B et C des fonctions de r.

[invite01087e88]

Bonjour Ericcc, et merci pour ta réponse !

Voici le détail de mes calculs :
je suppose que T(r,t) = f(r).g(t), et j'écris :
(E) <=> P = alpha . (h + Cp.f(r).g'(t)).r² + Beta.g(t).f'(r)
<=> P/(f(r).g(t)) = alpha.(h + Cp.f(r).g'(t)).r²/(f(r).g(t) + Beta.f'(r)/f(r)
<=> P/(f(r).g(t)) = alpha.h.r²/(f(r).g(t)) + alpha.Cp.g'(t).r²/g(t) + Beta.f'(r)/f(r)

On s'aperçoit alors à ce stade qu'il sera impossible de séparer les expressions en t et en r de chaque côté du signe =... => KO !

Si j'écris T(r,t) = f(r) + g(t), alors j'obtiens :
(E) <=> P = alpha.(h + Cp.g'(t)).r² + Beta.f'(r)
<=> P/r² - Beta.f'(r)/r² = alpha.(h + Cp.g'(t))
Ici j'ai bien deux fonctions de deux variables indépendantes qui s'égalent. J'en déduis donc qu'elles sont égales à une même constante K, et j'en tire deux equations différentielles :
(i) : P - Beta.f'(r) = K.r²
(ii) : alpha.(h + Cp.g'(t)) = K
D'où je tire que :
f(r) = P.r/beta - K.r^3/(3.Beta) + C1
g(t) = (K/alpha - h).t/Cp + D1

Malheureusement, je suis bloqué à ce stade, car ces fonctions sont des polynomes, et pour des raisons physiques, je dois avoir des limites finies pour ces deux fonctions en +inf...

N'hésite pas à me corriger si j'ai écrit des énormités !

Cdt,

Ravjul

[inviteaf1870ed]

Bonjour Ericcc, et merci pour ta réponse !

Voici le détail de mes calculs :
je suppose que T(r,t) = f(r).g(t), et j'écris :
(E) <=> P = alpha . (h + Cp.f(r).g'(t)).r² + Beta.g(t).f'(r)

A ce stade si tu considères r comme fixé, tu as une équation différentielle en t que tu sais résoudre aisément. POurquoi ne pas essayer cela et voir la tête des solutions ?
Ensuite tu réinjectes tes solutions pour trouver des solutions à l'équation en r. Cela devrait te donner des idées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

Bonjour Ravjulbespar,

il s'agit d'une équation aux dérivées partielles (EDP) du premier ordre.
Comme toute EDP du premier ordre, il y a dans la solution générale une fonction arbitraire. (C'est similaire à une équation différentielle ordinaire du premier odre, dont la solution générale contient une constante arbitraire, sauf que pour une EDP, c'est une fonction au lieu d'une constante)
Souvent, la plus grande difficulté n'est pas la résolution de l'EDP, mais c'est de remplacer cette fonction arbitraire par une fonction bien déterminée de telle sorte que les conditions aux limites soient satisfaites.
La partie la plus facile du travail est donnée dans les pages jointes.
Ensuite, il faudrait déterminer la fonction Phi(lambda) telle que les conditions imposée soient satisfaites:
- T(0,0)=To
- T tend vers Tambiante lorsque r tend vers l'infini,
- T doit avoir une limite finie lorsque t tend vers l'infini.
Et c'est bien là qu'est la difficulté.
Il me semble d'ailleurs que les conditions aux limites ci-dessus sont insuffisantes. Il manque probablelment quelque chose pour qu'il puisse y avoir une solution unique.

[invite63e767fa]

Bonjour,

ceci pour préciser ce que je voulais dire par "conditions aux limites insuffisantes".
En effet, le problème est peut-être bien posé au sens physique (En fait, on ne sait pas quel est le problème physique et de toutes façons, on n'a pas à considérer les questions de modélisation sur un forum de maths. Donc on ne demande pas à connaître l'énoncé du problème physique. Il faudrait que sa modélisation ait conduit à un énoncé mathématique "bien posé")
Mais il semble être mal posé au sens mathématique. Par exemple:
Une des conditions donnée est T(0 ; 0) = To
Mais T(r ; 0) n'est pas déterminé, sauf pour r=0.
Il est certain que la solution mathématique ne sera pas la même si T(1 ; 0)=To ou si T(1 ; 0)=0, ou si T(2.26 ; 0)=5.12 , ou etc. Même indétermination de T(r ; 0) pour d'autres valeurs de r à la frontière t=0.
Il se peut tout aussi bien que ce ne soient pas les T(r ; 0) qui manquent, mais ce pourraient être les (dT/dr)(r ; 0) ou d'autres formes de conditions à la frontière t=0. On ne peut par deviner !
Remarque : Ceci ne veut pas dire que l'on serait capable de résoudre analytiquement le problème, même s'il était bien posé. Cela veut dire que, dans ces conditions, on se limite à répondre par une forme trop générale de solutions hypothétiques.

[invite63e767fa]

La solution générale de l'EDP peut être exprimée de façon plus formelle qu'avec une série ou une intégrale (Formule donnée en document joint).
Bien sûr, cela n'apporte rien de plus : on en revient toujours à la difficulté principale qui est de déterminer la fonction "quelconque" figurant dans la solution générale, de telle sorte que les conditions aux limites soient satisfaites (conditions qu'il conviendrait de clarifier).

[invite01087e88]

Bonjour,

Un grand merci à ceux qui sont intervenus dans cette discussion pour leur aide précieuse. J'ai été mobilisé sur un autre projet, et j'ai donc du mettre celui qui m'a amené à cette ED en pause pendant quelques temps...

En refaisant mes calculs, je me suis aperçu que j'avais oublié un terme, ce qui modifie l'équation différentielle de manière assez notable, par le remplacement de h par h/t, ce qui complique encore plus les choses. J'ai usé des artifices dont il a été question ici, et je suis également allé chercher de l'aide du côté de Maxima (logiciel de calcul formel). La solution en temps (t) fait intervenir la fonction gamma incomplete, qui ne s'exprime que difficilement. La solution en r, elle, est un peu plus classique (une exponentielle). Au final, la forme de la fonction T(r,t) est franchement à coucher dehors, et je ne suis pas certain d'être beaucoup plus avancé !

En ce qui concerne les conditions aux limites, effectivement je suis assez vague dans la mesure où je manque de données claires, notamment sur les dérivées, valeurs en (0,t) ou en (r,0),... Pour l'instant, je m'aide avec des simulations thermiques sous Flotherm pour tenter d'avoir un aperçu, et de toucher ces valeurs ou fonctions limites, mais les approximation sont parfois hasardeuse, et je leur fais moyennement confiance.

Quoi qu'il en soit, il s'agit en effet d'un problème physique complexe qui mène à une question mathématique que je trouve ardue, c'est la raison pour laquelle j'ai posté sur ce forum...

Cordialement,

Ravjul

[invite63e767fa]

Du point de vue purement mathématique, le remplacement de h par h/t ne complique pas du tout la recherche de la solution générale de l'EDP.
La formule exprimant la solution générale de l'EDP corrigée est donnée en document joint.
A-priori, il n'y a aucune raison d'y faire intervenir une fonction spéciale comme la fonction Gamma incomplète, ou d'autes. En effet, la fonction "quelconque" figurant dans la formule peut tout aussi bien être une combinaison de fonctions élémentaires qu'une fonction spéciale, à ce stade d'avancement.
Ce n'est qu'ensuite, lorsque les conditions aux limites sont prises en compte, que la fonction "quelconque" peut en principe être déterminée pour obtenir la fonction spécifique constituant la solution finale au problème. C'est donc à ce stade ultérieur qu'il peut apparaître, ou non, des fonctions spéciales selon les conditions aux limites imposées. C'est alors seulement que l'on pourrait dire si le remplacement de h par h/t a compliqué la formule, ou au contraire, l'a simplifiée.
Il semble qu'actuellement la modélisation physique n'a pas encore atteint un état d'avancement suffisant pour bien spécifier les conditions aux limites (mathématiquement parlant). Le mieux est donc d'attendre d'y voir plus clair sur ces conditions aux limites, avant d'en tirer des prévisions sur la possibilité, ou non, d'arriver à une formulation pas trop compliquée de la solution finale.