arithmétiques

[invite88c5e6d4]

bonsoir , pourriez vous m'aider

Soit a appartenant à Z
montrer que le reste de la division euclidienne de a² par 8 est égale à 0 , 1 , ou 4.

merci d'avance
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[invite5150dbce]

a=1[8] ==> a²=1[8]
a=2[8] ==> a²=4[8]
a=3[8] ==> a²=9=1[8]
a=4[8] ==> a²=16=0[8]
a=5[8] ==> a²=25=1[8]
a=6[8] ==> a²=36=4[8]
a=7[8] ==> a²=49=1[8]
a=8[8] ==> a²=64=0[8]

[invite10c0f164]

ou on peut aussi regarder a modulo 4
(a=t mod 4 =>a²=t² mod 8)

[invite88c5e6d4]

oui je suis d'accord avec le début, mais ca ne prouve en rien que ceci restera vrai pour a=185974 par exemple
donc je pense qu'on demande ici de le démontrer brièvement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite10c0f164]

a=1[8] ==> a²=1[8]

doit se lire:
si le reste de la division euclidienne de a par 8 est égale à 1
alors le reste de la division euclidienne de a² par 8 est égale à 1

[invite88c5e6d4]

ah ok, merci , en effet avec la traduction c'est mieux

merci

[invite10c0f164]

plus exactement:
a=1[8] ==> a²=1[8]
doit se lire:
si le reste de la division euclidienne de a par 8 est égale au
reste de la division euclidienne de 1 par 8

alors le reste de la division euclidienne de a² par 8 est égale au
reste de la division euclidienne de 1 par 8

mais bon, puisque 0<1<8 c'est pareil.
a=8[8] c'est pareil que a=0[8]

cordialement

[invite5150dbce]

c'est pourquoi je n'ai pas traité que l'un des deux cas

[invite10c0f164]

exact!
mais comme je disait:
(4t+k)²=16t²+8kt+k²
donc en se demandant quel est le reste de la division euclidienne de a par 4 on a 2 fois moins de cas à traiter

[invite5150dbce]

oui c'est astucieux

[invite10c0f164]

trois cas suffisent modulo 4 :
0,+ou-1,2