arithmétiques

[invitef978daf1]

Soit A=(a^72)-1 a>1 a de IN
on pose b=3*5*7*13*19*37*73=70050435
quelqu'un peut m'aider à démontrer que
pgdc(a,b)=1=>b divise A
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[KerLannais]

Salut

as-tu remarqué que 3,5,7,13,19,37,73 sont tous des nombres premiers et que si tu leur soustrait 1 tu obtiens 2,4,6,12,18,36,72 qui sont que des diviseurs de 72. En fait l'exo est simple si on utilise la propriété classique suivante (petit théorème de Fermat si je ne m'abuse). Si p est premier et si a est un entier qui n'est pas divisible par p (en particulier a est non nul) alors p divise
a^(p-1)-1
ce qui se généralise simplement : avec les mêmes hypothèses, pour tout entier k, p divise
a^(k(p-1))-1
en effet,
a^(k(p-1))-1=(a^k)^(p-1)-1
et si la propriété est vrai pour a elle l'est encore pour a^k qui est aussi un entier qui n'est pas divisible par p si a ne l'est pas.
exemple:
pour p=13 et k=6 on a que pour tout entier a tel que a n'est pas divisible par 13 (ou plus généralement pour tout entier a qui est premier avec un nombre qui est multiple de 13), on a que 13 divise
a^{72}-1=a^(6(13-1))-1

j'espère que ça t'aide comme indication.