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Suites Arithmétiques



  1. #1
    le fondateur du cosmos

    Suites Arithmétiques


    ------

    Bonjour,

    Je dois faire un exercice sur les suites.

    L'énoncé est le suivant:

    Les longueurs des côtés d'un triangle rectangle de périmètre 24 m sont 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique. Déterminer les longueurs de ses cotés.

    Pour résoudre ce problème, j'ai nommé les 3 côtés de ce triangle U1, U2, U3.

    J'ai réussit à me donner une petite idée du résultat en cherchant dans ma tête:
    U1 = 6 m
    U2 = 8 m
    U3 = 10 m

    Cela fonctionne car 6, 8, 10 est une suite arithmétique de raison 2 et car 62 + 82 = 102.

    Cependant ce résultat n'est du qu'au hazard et il faut démontrer les calculs.

    Pour le moment je suis arrivé a déterminer la valeur de U2 en utilisant la somme des premiers termes d'une suite arithmétique.

    En effet, [(U1 + U3) * 3] / 2 = 24.

    D'où je peux en tirer le résultat suivant U1 + U3 = 16.

    On sait que le périmètre du triangle rectangle est égal a 24 m, donc:
    U1 + U2 + U3 = 24

    Donc:U2 = 24 - 16 = 8.

    Mais comment puis-je faire pour connaître la raison qui sépare 6 de 8, et 8 de 10, tout en sachant qu'a la base je ne connaîs pas les valeurs de U1 et de U3?

    -----
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  2. Publicité
  3. #2
    fderwelt

    Re : Suites Arithmétiques

    Bonjour,

    Il suffit de formaliser calmement. Si U1, U2, U3 sont les côtés de ton triangle, en supposant U1 < U2 < U3, tu dois avoir U3² = U1² + U2². Et si ce sont les termes consécutifs d'une série arithmétique, disons de raison a, tu as aussi U2 = U1 + a et U3 = U1 + 2a. Tu développes et tu identifies.
    Mais évidemment, comme la figure peut être dessinée à n'importe quelle échelle, seul le rapport a/U1 est important.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  4. #3
    fderwelt

    Re : Suites Arithmétiques

    Oups, j'avais pas fait gaffe qu'on te donnait aussi le périmètre du triangle. Tu as donc en plus la relation U1 + U2 + U3 = 24m, ce qui lève l'ambiguïté.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  5. #4
    le fondateur du cosmos

    Re : Suites Arithmétiques

    Si je comprend bien votre raisonnement, il faut que je remplace U2 et U3 respectivement par U1 + a et U1 + 2a dans la formule du théorème de Pythagore.

    Cela me donne comme résultat:
    >U3² = U12 + U22

    Donc:
    >(U1 + 2a)2 = U12 + (U1 + a)2
    >U12 + 4aU1 + 4a2 = 2U12 + 2aU1 + a2

    Mais je connais seulement le périmètre (24 m) et U2(8 m).

    Comment pourrais-je trouver la raison "a" ainsi que U1 car je ne vois vraiment pas par quel bout commencer?

    Mais peut-etre que ceci est la solution, j'ai remarqué que (périmètre2) / 4 = U32 si U3 = 12 m

  6. #5
    le fondateur du cosmos

    Re : Suites Arithmétiques

    Pour répondre a votre deuxieme message, il faut que je résolve un système!!!

    Merci beaucoup de votre aide.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    fderwelt

    Re : Suites Arithmétiques

    Bonsoir,

    C'est bien la méthode. Mais clairement il faut exprimer U1, U2 et U3 en multiples de a, puisque la figure peut être dessinée à n'importe quelle échelle (penser à si c'était des centimètres au lieu des mètres). C'est la condition supplémentaire U1 + U2 + U3 = 24m qui fixe précisément l'unité.

    Le théorème de Pythagore donne bien l'équation à laquelle tu aboutis, et en regroupant tous les termes du même côté on obtient:
    U1² - 2aU1 - 3a² = 0
    En posant r = U1/a, et en divisant tout par a², on obtient:
    r² - 2r - 3 = 0
    que l'on sait résoudre (la seule racine positive est r = 3).

    À partir de là on écrit U1 + U2 + U3 = 3(U1 + a) = 24m, avec U1 = 3a, d'où on détermine a et U1.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

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