Suites Arithmétiques

[invitee0ba7c35]

Bonjour,

Je dois faire un exercice sur les suites.

L'énoncé est le suivant:

Les longueurs des côtés d'un triangle rectangle de périmètre 24 m sont 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique. Déterminer les longueurs de ses cotés.

Pour résoudre ce problème, j'ai nommé les 3 côtés de ce triangle U₁, U₂, U₃.

J'ai réussit à me donner une petite idée du résultat en cherchant dans ma tête:
U₁ = 6 m
U₂ = 8 m
U₃ = 10 m

Cela fonctionne car 6, 8, 10 est une suite arithmétique de raison 2 et car 6² + 8² = 10².

Cependant ce résultat n'est du qu'au hazard et il faut démontrer les calculs.

Pour le moment je suis arrivé a déterminer la valeur de U₂ en utilisant la somme des premiers termes d'une suite arithmétique.

En effet, [(U₁ + U₃) * 3] / 2 = 24.

D'où je peux en tirer le résultat suivant U₁ + U₃ = 16.

On sait que le périmètre du triangle rectangle est égal a 24 m, donc:
U₁ + U₂ + U₃ = 24

Donc:U₂ = 24 - 16 = 8.

Mais comment puis-je faire pour connaître la raison qui sépare 6 de 8, et 8 de 10, tout en sachant qu'a la base je ne connaîs pas les valeurs de U₁ et de U₃?
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Il suffit de formaliser calmement. Si U₁, U₂, U₃ sont les côtés de ton triangle, en supposant U₁ < U₂ < U₃, tu dois avoir U₃² = U₁² + U₂². Et si ce sont les termes consécutifs d'une série arithmétique, disons de raison a, tu as aussi U₂ = U₁ + a et U₃ = U₁ + 2a. Tu développes et tu identifies.
Mais évidemment, comme la figure peut être dessinée à n'importe quelle échelle, seul le rapport a/U₁ est important.

-- françois

[invite6de5f0ac]

Oups, j'avais pas fait gaffe qu'on te donnait aussi le périmètre du triangle. Tu as donc en plus la relation U₁ + U₂ + U₃ = 24m, ce qui lève l'ambiguïté.

-- françois

[invitee0ba7c35]

Si je comprend bien votre raisonnement, il faut que je remplace U₂ et U₃ respectivement par U₁ + a et U₁ + 2a dans la formule du théorème de Pythagore.

Cela me donne comme résultat:
>U₃² = U₁² + U₂²

Donc:
>(U₁ + 2a)² = U₁² + (U₁ + a)²
>U₁² + 4aU₁ + 4a² = 2U₁² + 2aU₁ + a²

Mais je connais seulement le périmètre (24 m) et U₂(8 m).

Comment pourrais-je trouver la raison "a" ainsi que U₁ car je ne vois vraiment pas par quel bout commencer?

Mais peut-etre que ceci est la solution, j'ai remarqué que (périmètre²) / 4 = U₃² si U₃ = 12 m

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0ba7c35]

Pour répondre a votre deuxieme message, il faut que je résolve un système!!!

Merci beaucoup de votre aide.

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

C'est bien la méthode. Mais clairement il faut exprimer U₁, U₂ et U₃ en multiples de a, puisque la figure peut être dessinée à n'importe quelle échelle (penser à si c'était des centimètres au lieu des mètres). C'est la condition supplémentaire U₁ + U₂ + U₃ = 24m qui fixe précisément l'unité.

Le théorème de Pythagore donne bien l'équation à laquelle tu aboutis, et en regroupant tous les termes du même côté on obtient:

U₁² - 2aU₁ - 3a² = 0

En posant r = U₁/a, et en divisant tout par a², on obtient:

r² - 2r - 3 = 0

que l'on sait résoudre (la seule racine positive est r = 3).

À partir de là on écrit U₁ + U₂ + U₃ = 3(U₁ + a) = 24m, avec U₁ = 3a, d'où on détermine a et U₁.

-- françois