Intégration amusante d'une gaussienne un peu particulière

[invite6ae87b53]

Salut à tous,

j'ai besoin de votre aide pour rafraichir mes souvenirs sur les 'intégrales.

L'équation qui me pose soucis est celle du carré d'une gaussienne centrée sur une valeur , multpliée par un créneau (fonction ). Ainsi la fonction est nulle n'appartenant pas à l'intervalle .

Voila le monstre :



Avec

La fonction répond à la définition suivante :





(je n'ai pas réussi à insérer un "case" avec le latex embarqué sur le forum, si quelqu'un veut me montrer comment on fait... ).


Bon, ça peut sembler compliqué comme ça, mais à priori il ne s'agirait que d'intégrer le carré d'une gaussienne entre 0 et , un peu particulière puisqu'elle vaut 0 en 0 et 0 aussi en .

Merci de m'apporter un peu d'aide, je suis à votre disposition pour tout apport d'info complémentaire pouvant aider à la déliverance...

Prière de ne pas trop se moquer si la solution est triviale...
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[invite6ae87b53]

Hum, je précise, la fonction vaut zéro, avant 0 et après ...

[invite6ae87b53]

Personne pour me filer un petit coup de main ? L'est bidon ma question ?

[invite88ef51f0]

Ben... elle fait quand même peur ta fonction !
T'es sûr que c'est intégrable ? Parce qu'intégrer analytiquement une gaussienne, bof, bof... alors c'est pas de la multiplier par une porte qui va faciliter.
Tu peux pas le faire numériquement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6ae87b53]

Lol, si, c'est fait numériquement sans aucun soucis.

Là c'est juste que je voudrais comparer mon étude analytique à mon étude numérique, histoire de voir si j'ai des résultats cohérents.

Intégrer une gaussienne, ça se fait, mais la mienne a des conditions aux limites un peu particulières du fait de la multiplication avec la porte.

Et j'avoue mal maîtriser Maple pour essayer d'en soutirer un résultat (si c'est possible)...

[invite6ae87b53]

Au passage, elle fait peur parce que j'ai inclu tous les détails possibles et imaginables. La multiplication par une porte n'est là que pour spécifier des conditions aux limites de ma fonction gaussienne au carré (pour faire des maths avec les mains...).

A mon sens on doit pouvoir dire que ma fonction est du type

En posant comme conditions et , désignant la fonction à intégrer.

Il y a bien sûr des résultats concernant ce genre d'intégrations et qui font intervenir une fonction erf, mais cela nécessite que la gaussienne soit nulle à...

[invite6ae87b53]

Que la gaussienne soit centrée sur une valeur donnée ne doit rien changer à sa surface, à priori, non ?

[invite88ef51f0]

Euh... intégrer une gaussienne, ça se fait à condition d'utiliser des fonctions spécifiques (erf...).
Sinon, t'as fonction u, c'est une fonction de Heaviside, c'est ça ? Donc ton terme entre accolades est une simple porte, donc ça revient au même que de changer les bornes. Bref, finalement, tu te retrouves à intégrer une gaussienne centrée sur avec un écart-type . Donc, si intégrer une gaussienne, ça se fait, alors ça ne pose plus de problèmes, si ?

[invite8c514936]

Tu peux exprimer la solution avec des fonctions erf, non ?

PS : Arghhhhh grillé par un canard. Moi qui le croyais en exam, j'aurais dû me méfier...

[invite88ef51f0]

Oups, croisement...
Oui, je suis d'accord avec toi... il suffit de retrouver la définition de la fonction erf, et y a plus de problèmes !

EDIT Salut Deep, ça va ? Toi aussi, tu adores erf ?

[invite8c514936]

Pour la définition, c'est pas dur :



Le coef devant, on le retrouve en se rappelant que erf tend vers 1 quand l'argument tend vers l'infini...

[invite88ef51f0]

C'est bizarre le site de Wolfram met (c'est pas grave Deep, tu avais tous les éléments en tête). Il évite aussi de mettre les mêmes variables dans les bornes et dans l'intégrale, mais bon, c'est des matheux...

[invite6ae87b53]

Merci pour vos réponses les gars.

Voici la définition de erf, d'après mathworld :

ERF

J'attire votre attention sur l'équaiton 10 qui se propose d'intégrer par parties une équation de gaussienne qui, somme toute, pourrait ressembler à la mienne.

Et c'est PILE à cet endroit que je bloque, because mes souvenirs d'intégration sont loins.

Si vous arriviez à faire le pont entre mon équation et leur intégration par parties (genre changement de variable, que sais-je), je baignerai vos pieds de mes larmes et allumerai un cierge à la cathédrale de montpellier !

[invite88ef51f0]

L'équation 10 c'est pour trouver le développement en série...
Pour ton calcul, il faut changer les bornes pour enlever la porte, ramener au centre et dilater (pour ramener le à ). Vu que ton intervalle est pas centré autour de , ça va donner un truc dans le genre avec a<0<b. Ensuite tu coupes en 2 : [a,0] et [0,b], par symétrie du ramènes [a,0] à [0,-a] (avec -a>0), et ainsi tes deux morceaux s'expriment facilement en fonction de erf... Ca te convient ?

[invite8c514936]

C'est bizarre le site de Wolfram met BLABLA (c'est pas grave Deep, tu avais tous les éléments en tête).

J'avais écrit "pour la définition c'est pas dur", pas "voici la définition correcte"...

Bon, merci de la correction. Quand je pense que je l'ai utilisée hier, ça me fait mal comme erreur...

[invite6ae87b53]

Le temps de digérer ta réponse , je signale que mon intervalle d'intégration EST centré sur .

Enfin c'est ce que je veux faire. L'équation de départ est de moi, donc n'hésite pas à me dire si quelque chose cloche à ce propos...

Bon, et je vais lire calmement ta réponse...

[invite6ae87b53]

Utiliser ERF implique que les côtés de ma gaussienne "débordent" potentiellement du domaine d'intégration. Or, MA gaussienne vaut 0 en dehors de ces bornes.

C'est pour ça qu'il m'a semblé que je devrais me farcir l'intégration par parties données dans l'équation 10 que je désigne plus haut...

Ou alors je n'ai rien compris à ton explication coincoin

[invite88ef51f0]

Personnellement, j'avoue ne pas m'en servir tous les jours... Donc réflexe Mathworld pour savoir si y a un coefficient,si ça commence en 0 ou en , etc...

mon intervalle d'intégration EST centré

J'avais regardé rapidement... Y a pas une faute de signe dans ton (tu mets un - mais tu inverses la paranthèse, docn c'est plus cohérent avec ta porte, sauf si tu as oublié des paranthèses dans tes u). Bon, si c'est centré, t'as a=-b. Donc après symétrie, tu te retrouves avec le double d'une seule fonction erf, au lieu de 2.
Je te laisse dérouler le calcul et je reste dans les parages.

C'était pas si méchant finalement !

[invite88ef51f0]

Tu te fiches des valeurs de ta fonction en-dehors de ton domaine d'intégration ! Du coup, je me rend compte que tes bornes correspondent déjà à ta porte. Donc ta porte ne sert à rien.

[invite6ae87b53]

Alors mon est au centre d'une porte, dont les limites sont données dans mon équation de départ. En fait la fonction n'est pas une porte en soi, mais juste une marche infinie, ce qui explique le pour la transformer en porte.

Af, je viens de voir ta réponse.

Ma porte sert a ANNULER ma gaussienne en dehors du domaine d'intégration.

Ca me sert pour le reste de mon problème, mais, en effet, je crois bien que cela ne change rien à l'affaire ici, puisque la surface de ma gaussienne n'est de toute façon calculée que dans ce petit intervalle...

J'ai bien l'impression que je me suis emmellé les crayons, moi...

[invite88ef51f0]

C'est pas grave... plus ça va, plus ça se simplifie ! (encore heureux vu la tête de la formule initiale ! )
Là, il faut juste faire un changement de variable pour avoir exp(-x²), et on aura une intégrale de -a à a. Un petit argument de parité, et hop ça fait 2 fois l'intégrale de 0 à a, et paf on a erf directement (à un facteur près). Trop simple !

[invite6ae87b53]

En tout cas merci à tous les deux.

Je crois que c'est dans la mise en équation que je suis parti dans le décors...

Je réfléchis à mon problèem et je vous en donne une digestion...