Jeux, Paris et Loi de Gauss

[invitecef73ce6]

Bonjour à tous!

Voici une situation qui me pose problème.
J'aimerais connaître votre opinion sur le sujet.

J'ai une quantité physique (Q) qui suit une marche aléatoire (random walk).
Au temps t0 la quantité Q est égale à 0.
Pour chaque étape t > t0 la quantité augmente de 1 avec une probabilité p ou diminuer de 1 avec une probabilité 1-p.
Q peut être négatif.

Je peux parier, à chaque étape sur le fait que soit Q va augmenter soit Q va diminuer. Si j'ai raison, je gagne 10e, si j'ai tort je perds 10e.
Quelle est la meilleure manière de jouer à ce jeu?

Bon, pour maximiser les gains, il semble asser évident que si p>0.5 je parie à chaque fois sur une augmentation et si p<0.5 je parie à chaque fois sur une diminution. si p=0.5 alors je ne joue pas.

Maintenant, il y aurait-il plus efficace comme stratégie?

Comme Q suit une marche aléatoire, je sais que, en moyenne, la valeur absolue de Q après n étapes ressemble à:
d = sqrt(2*n /pi)

Et comme Q est une quantité physique, je peux l'observer dans la nature. Donc je peux calculer "d" avec la formule ci-dessus, puis estimer "d'" avec ce que je trouve dans la nature. Ceci me donne une erreur:
e = d-d'

Et, surprise surprise, la distribution de "e" suit la loi de Gauss.
La moyenne et l'écart type de "e" peuvent être estimés par l'observation, en supposant que tous les "e" sont i.i.d.

Alors il y aurait-il une manière de parier plus efficace?
Comment pourrais-je parier sur "e" plutot que sur Q?

Merci!
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[invite88ef51f0]

Salut,
Je ne comprends pas une chose. Tu paries sur l'évolution de Q à une étape donnée ? Qu'est-ce que tu en as à faire de la valeur de Q alors ?

Si comme si quand tu jouais à pile ou face, tu comptais le nombre de piles déjà sortis.

[invitecef73ce6]

Bonjour Coincoin,

Effectivement, pour les paris la valeur de Q n'a pas d'importance. Je parie sur le fait que cette valeur augmente ou diminue, pas sur sa valeur.

Par contre, la valeur de Q me donne la distance parcourue depuis l'origine de la marche aléatoire.
Par exemple, mettons que Q vaut 50 à une étape donnée, alors la distance (en valeur absolue) parcourue depuis l'origine (Q=0) vaut |50-0| = 50.
Si Q vaut -10, la distance parcourue depuis l'origine vaut |-10-0| = 10

Dans une marche aléatoire, la distance moyenne parcourue depuis l'origine en n étapes est donnée par d= sqrt(2*n/pi).
Grace à cette formule je peux calculer quelle distance, en théorie, la marche aléatoire devrait parcourir en moyenne après, par exemple, 25 étapes.
Ceci me donne une valeur théorique.

Ensuite je peux observer Q, choisir un grand nombre de périodes de 25 étapes au hasard, regarder pour chaqune des périodes quelle distance a été parcourue, faire la moyenne des distances et finalement comparer la valeur obtenue avec la valeur théorique.
La différence entre la valeur théorique et la valeur observée donne l'erreur (e).

J'espère que j'ai été clair. :S

[invite88ef51f0]

Je ne vois toujours pas en quoi ça t'aide pour le pari.

Si tu connais p à l'avance, tu paries sur une augmentation si p>1-p et sur une diminution si p<1-p.
Si tu ne connais pas p, alors effectivement regarder la valeur de Q te permet d'estimer la valeur de p en utilisant l'information de toutes les étapes précédentes. Mais si p est différent de 0,5, alors la distribution ne sera pas gaussienne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecef73ce6]

D'accord.

Alors si je comprends bien, d'après toi, la meilleure stratégie est de parier sur une augmentation pour p>0.5 et sur une diminution pour p<0.5 et ce n'est pas possible de faire mieux?

Je pensais à deux autres stratégies. Le problème est qu'il est difficile de formaliser l'espérance de gains pour voir si ces stratégies sont efficace.

La première pourrait se baser sur la loi de l'arcsine.
Tant que Q est positif, on parie sur une augmentation à chaque étape. Si Q devient négatif, on parie sur une diminution. En d'autres termes, si Q est positif on parie que Q reste positif et inversement pour Q négatif.

L'espérance de gain (G) est donc proportionnelle à la distance parcourue en moyenne (d) moins le nombre de fois ou Q change de signe (s).
G=d -2*s

Donc j'ai
d=sqrt(2*n/pi) et pour p=0.5
s=1/2 * sqrt(2*n/pi)

Ce qui me donne:
G=d - 2*s
G= sqrt(2*n/pi) - 2*(1/2 * sqrt(2*n/pi))=0. Ce qui parait correct.

Par contre si j'ai un biais (p>0.5), "d" augmente et en même temps "s" diminue. De plus, avec l'augmentation du biais, "d" et "s" augmentent/diminuent de manière exponentielle...
Et donc G augmente de manière exponentielle.

N'aurais-je donc pas meilleur temps de parier sur une augmentation quand Q est positif et sur une diminution quand Q est négatif? Surtout si le biais est significatif?

Pour la deuxième stratégie, je me disais qu'il était peut-être possible de faire une regression vers la moyenne.
Disons que l'on observe Q pendant un nombre X d'étapes. On mesure "d'". Il existe trois cas de figure:
1. d' correspond exactement à la valeur théorique d
2. d' est inferieur à la valeur théorique
3. d' est supérieur à la valeur théorique.

Dans le cas 2. on parie sur une augmentation. Dans le cas 3. on parie sur une diminution en supposant une regression vers la moyenne.
Mais dans ce cas la, comment formaliser l'espérance de gains? On peut utiliser le fait que la distribution de l'espérance va avoir la même forme que la distribution de l'erreur autour de la valeur théorique (courbe de Gauss) mais quelle sera sa moyenne?

[invite88ef51f0]

La question essentielle, avant de rentrer dans toutes les complications, c'est : est-ce que tu connais p ?
Si tu connais p et si l'évolution de Q est markovienne, c'est-à-dire que l'évolution à une certaine étape ne dépend pas de l'histoire passée de Q, alors tu ne peux pas faire mieux que miser sur la probabilité la plus grande (augmentation si p>1-p, diminution si p<1-p). Tu auras alors une probabilité max(p,1-p) de gagner.

Ce n'est pas parce que le numéro 42 est sorti au dernier tirage du Loto qu'il a plus de chance de sortir que les autres ou qu'il a moins de chance de sortir la prochaine fois.

[invitecef73ce6]

Je ne connais pas p mais je peux l'estimer en observant Q.

Par contre rien ne me garantie que p est fixe.

En fait, en y réfléchissant, je pense que tu as raison. Parier tjrs sur la plus grande probabilité est la méthode optimale tant que p est connu/fixe.
Si p n'est pas connu, alors la méthode de l'arcsine que j'ai proposé comme première stratégie pourra capturer le biais (s'il en existe un) meme sans le connaître et même s'il n'est pas constant dans le temps. Mais cette méthode ne pourra pas faire mieux que la première. non?

Par contre, pour la deuxième stratégie, je devrais pouvoir observer une regression vers la valeur théorique de distance parcourue et donc parier sur l'erreur e dont je connais la distribution..
Ca devrait être plus efficace que de parier sur Q dont je ne connais pas la distribution, non?

[invite986312212]

Je ne connais pas p mais je peux l'estimer en observant Q.

Par contre rien ne me garantie que p est fixe.

si p est fixe, tu l'estimes par la proportion de sauts +1, c'est-à-dire en définitive par la dernière valeur de Q (l'historique ne sert à rien).

[invite88ef51f0]

Si p n'est pas fixe, je ne vois pas trop ce que tu peux faire. Tu peux très bien être dans le cas où p a toujours été très grand et deviens d'un coup ridiculement faible pile au moment où tu paries.

Si p est fixe mais inconnu, tu peux t'amuser à calculer la probabilité d'être en un point en fonction de p et en déduire la probabilité d'avoir une certaine valeur de p en fonction du point où tu es. Mais je peux déjà t'affirmer que tu trouveras qu'il faut parier sur une augmentation si Q>0 et sur une diminution si Q<0. À la rigueur, déterminer la densité de probabilité de p te permettra d'évaluer le risque que tu prends en pariant.

[invitecef73ce6]

Mais je peux déjà t'affirmer que tu trouveras qu'il faut parier sur une augmentation si Q>0 et sur une diminution si Q<0. .

Oui, je suis d'accord avec vous deux!

Merci pour l'aide!