probleme a resoudre

[invite66aaf94d]

s'il vous plait est ce que vous pouvez m'aider a resoudre ce probleme:
a partire de la relation suivante :


montrer que:

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[inviteaf1870ed]

Si je note a1=1, a2=1/(1+1/n), a3=1/(1+2/n).....an=1/(1+n/n)
On a 1/a1=1, 1/a2=1+1/n, 1/a3=1+2/n .....1/an=1+n/n
Et il n'y a plus qu'à appliquer la formule !

[invite5150dbce]

Ton problème ressemble à une application de l'inégalité de cauchy schwarz

Tu peux montrer que [(1/n)+...+(1/2n)][n+...+2n]=[√(1/n)²+...+√(1/2n)²][√n²+...+√(2n)²]≥[√(1/n)²√n²+...+√(1/2n)²√(2n)²]=n²

Donc [(1/n)+...+(1/2n)]≥n²/[n+...+2n]
Or ∑(i=n-->2n)(i)=n(n+2n)/2=3n²/2 (somme d'une suite arithmétique de premier terme n et de raison 1)
Donc [(1/n)+...+(1/2n)]≥2/3

[invite66aaf94d]

merci : j"ai deja applique ce methode et d"autre mais toujour j"obtien le resulta suivant

1/n +1/n+1 ..........1/2n > (2/3)*(n/n+1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite66aaf94d]

ahhh oui merc beacoup

[invite5150dbce]

merci : j"ai deja applique ce methode et d"autre mais toujour j"obtien le resulta suivant

1/n +1/n+1 ..........1/2n > (2/3)*(n/n+1)

attention n terme et non n+1

[invite66aaf94d]

oui c vrais j"ai trombe merci beaucoup

[invite66aaf94d]

non
ce n"est pas vrais car :
n+(n+1)+........+2n=(2n-n+1)/2 *(2n + n)= 3n*(n+1)/2

[invite5150dbce]

Oui désolé, il y a n+1 termes donc dans ce cas là, je peux revenir sur ce que j'ai fait

[invite5150dbce]

Ton problème ressemble à une application de l'inégalité de cauchy schwarz

Tu peux montrer que [(1/n)+...+(1/2n)][n+...+2n]=[√(1/n)²+...+√(1/2n)²][√n²+...+√(2n)²]≥[√(1/n)²√n²+...+√(1/2n)²√(2n)²]=(n+1)²

Donc [(1/n)+...+(1/2n)]≥(n+1)²/[n+...+2n]
Or ∑(i=n-->2n)(i)=(n+1)(n+2n)/2=3n(n+1)/2 (somme d'une suite arithmétique de premier terme n et de raison 1)
Donc [(1/n)+...+(1/2n)]≥2(n+1)/3n
n est un entier naturel non nul.
Or pour tout n appartenant à IN*, 1/n>0 donc 1+1/n>1
<=> 2(n+1)/3n>2/3
D'où [(1/n)+...+(1/2n)]>2/3

ça permet de prouver l'inégalité stricte

[invite66aaf94d]

c (2/3)*(n/n+1) non (2/3)*(n+1/n)

[invite66aaf94d]

le probleme c d"applique la formule donne non la formule de cauchy

[invite66aaf94d]

A=(a1+a2 +.....+an)/n c la moyenne arithmetique
et
B=n/(1/a1) +.......+(1/an) c la moyenne harmonique

[invite5150dbce]

c (2/3)*(n/n+1) non (2/3)*(n+1/n)

tu t'es de nouveau planté au passage à l'inverse
relie avant de poster

[invite5150dbce]

s'il vous plait est ce que vous pouvez m'aider a resoudre ce probleme:
a partire de la relation suivante :

De plus avec l'inégalité de cauchy schwarz, je t'ai démontré ce qui était admis donc tu as juste à l'appliquer. Tu peux sauter des étapes dans ma démonstration

[invite5150dbce]

En fait le problème c'est avec ta formule, elle contient n termes alors que l'expression que tu dois démontrer en contient n+1 c'est pourquoi il est plus clair d'utiliser cauchy schwarz

[invite66aaf94d]

oui tu est raison

c on pose ak=n+k avec k=0,1,2;.......,n
(a0+a1+a2+.....+an) contient n+1 termes donc la formule dovient :

(n+(n+1)+.........+2n)/n+1> (n+1)/1/n+1/(n+1)+.........+1/2n
==>


1/n+1/(n+1)+.........+1/2n>(n+1)2 /(n+(n+1)+.........+2n)

merci beaucoup de m'aider

[invite5150dbce]

De rien, je suis content que tu aies réussi à aboutir au résultat demandé