Sin(nx)/sin(x) avec n impair.

invitea0db811c · 03/02/2010, 17h03

Bonjour,

Je suis entrain de lire le livre de Jean Pierre Serre : Cours d'Arithmétiques, et je bute sur un petit truc, et je n'arrive absolument plus à voir la méthode à employer... (même si je suis pratiquement sur de l'avoir déjà vu... La mémoire qui flanche à 22 ans... dur dur)

Alors voila, l'auteur propose une deuxième démonstration de la loi de réciprocité quadratique, qui repose sur l'utilisation d'un petit lemme de trigo, à savoir :

Pour tout m impair :

$\text{[math]}$

Et si il est facile de montrer qu'on a bien un polynôme en sin² à gauche qui se factorise de la sortes, je n'arrive pas à retrouver le coefficient dominant en (-4)^(...).

Pouvez vous m'aidez ?

Merci d'avance ^^

invite1e1a1a86 · 03/02/2010, 18h55

tu es sûr de ta formule?

edit:maple à l'air d'accord (j'avais fait une faute de frappe...)

tu peux ptet trouver quelque chose quand x tend vers 0

invite9cf21bce · 03/02/2010, 19h57

Bonsoir.

En bourrinant je trouve que ton polynôme P est :

$\text{[math]}$

où m=2r+1

Le coefficient dominant est en degré 2r et il s'agit de
$\text{[math]}$

On conclut ensuite en remarquant comme d'hab' que les deux sommes
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
sont égales, donc chacune vaut
$\text{[math]}$ .

J'imagine qu'il y a plus élégant, mais pas forcément plus efficace.

Taar.

invitea0db811c · 03/02/2010, 19h59

Hum et bien en faisant tendre vers 0 je vais retomber sur le terme constant de mon polynôme, ce qui ne m'intéresse pas vraiment ^^'

j'ai essayé par récurrence avec une formule impliquant des coefficients binomiaux, mais ça ne m'avance guère, et de plus, cela me parait très compliqué par rapport à la brièveté avec laquelle Jean Pierre Serre élude la question.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitebfd92313 · 03/02/2010, 20h07

il élude la question très certainement car l'étude des polynômes de chebychev est ultra classique. Tu peux retrouver le coefficient dominant avec l'expression développée du polynôme qui a été donnée, ou encore le trouver par récurrence en utilisant la formule de récurrence vérifiée par les polynômes de chebychev. (c'est la même que pour ceux en cosinus)

invitea0db811c · 03/02/2010, 20h09

Merci taar !

En effet j'en étais arrivé à la même expression du coefficient, mais je n'avais pas pensé à la suite. Merci encore !

Sin(nx)/sin(x) avec n impair.

Sin(nx)/sin(x) avec n impair.

Re : Sin(nx)/sin(x) avec n impair.

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