Groupe

[invitecbade190]

Bonsoir à tous :
Il s'agit de determiner les representations d'un groupe cyclique :
On m'a dit qu'il faut utiliser la notion du caractère d'un groupe.
Les caractères de : sont donc, .
Un tel caractère est determiné par l'image d'un générateur : de tel que : .

donc, est une racines -ièmes de l'unité, donc, choix possibles, donc représentations possibles !
Est ce que dans ce cas là, pour un caractère de : : , est une représentation de et donc, de : ?
mais ce que je ne comprends pas est que pour : , le caractère verifie : et non , ! donc, ce n'est pas une representation de !
Merci de votre aide !
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[invite7c6483e1]

A mon avis tu ne sais pas ce qu'est un caractère ! De plus, la classification des représentations de Z/nZ se fait sans les caractères. Juste avec la définition d'une représentation linéaire sur le corps des complexes et de dimension finie. J'ai déjà créé un fil là dessus, je crois bien qu'il est interdit de créer des doublons alors je te conseille de chercher dans le forum

[invitecbade190]

Bonjour "fulliculli" :
Peut être que tu as un peu raison :
De quel caractère tu me parles ? est ce que tu me parles de caractères d'un groupe defini comme ça : qui est un morphisme de groupes, ou bien de caractère d'une representation : qui se note comme ça :
Merci d'avance !

[invite7c6483e1]

Bonjour "Chentouf" ...

Premièrement, un caractère comme morphisme de G dans C* est un cas particulier de caractère de représentation où ladite représentation est en fait le C-espace vectoriel de dimension 1, C. La vraie définition est donc celle, plus générale avec la trace. Donc avec ça tu sais maintenant ce qu'est un caractère.

Pour trouver les représentations de Z/nZ, tu n'as pas besoin des caractères parce que Z/nZ est abélien fini et donc n'admet que des représentations de dimension 1. Tu n'as qu'à refabriquer les autres par somme directe grâce au théorème de complète réductibilité qui est conséquence de la finitude de ce groupe. Si tu ne veux pas utiliser ce genre de résultats, tu dois t'intéresser au fait que Z/nZ est monogène et faire du cas par cas en regardant ce que donne l'image de 1.

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