groupe fini et sous-groupe

[invitef7cb9c5c]

bonjour
bonne année et bonne santé à tous
pour une fois j'ai réussi à bien avancé dans mes exercices sauf la question suivante:
soit G un groupe commutatif fini et <x><y les sous groupes de g engendré par les éléments x et y de G
En supposant pgcd (m,n)=1 je ne sais pas pourquoi
<x> intersection<y>= {élément neutre}
pourriez vous m'expliquer?
merci
Fifrelette
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[taladris]

Salut!

J'imagine que m et n sont les ordres de x et y. Dans ce cas, si tu prends un élément de <x> inter <y>, que peux-tu dire de son ordre?

[MMu]

L'intersection est un sous-groupe de G_x et de G_y .
D'autre part dans un groupe fini, le cardinal du sous-groupe divise le cardinal du groupe . That's all ...

[invitef7cb9c5c]

merci, oui m et n sont les ordres de x et y qui eux sont des élèments du groupe mais je comprends toujours pas pouvez-vous m'expliquer ça un peu plus dans le détail
fifrelette

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Puisque m est l'ordre de x, alors <x> a m éléments. De même, <y> a n éléments. Si g est dans l'intersection de <x> et <y>, alors son ordre divise le cardinal de <x> et celui de <y>.
Donc l'ordre de g est 1, ce qui signifie que g est l'élément neutre de G.

[invitef7cb9c5c]

merci
j'ai compris
merci encore
fifrelette