Courbe de Von Koch

[invitee8378889]

Bonjour,

Comment montrer proprement (à savoir sans dire on peut dessiner la courbe sans lever la main ou la courbe n'est pas lisse et tout autre argument non formel) que la courbe de von koch (infinie) est continue et nulle part dérivable?

Merci.
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[martini_bird]

Salut,

j'avais rédigé un article sur une courbe similaire : le lemme cité peut notamment t'être utile. C'est à cette adresse.

Cordialement.

[sebsheep]

Pour la continuité, on peut peut-être voir cette courbe comme une déformation continue d'un segment (homéomorphisme pour employer le terme précis), mais vu qu'un effectue un nombre infini d'opération, je ne suis pas sûr qu'on puisse appliquer ce genre de raisonnement.

Sinon, il faut écrire l'équation paramétrique de cette courbe comme limite d'une suite d'équations, et à ce moment là appliquer les théorème adéquats. Mais il faut écrire la suite ... ce que je n'ai pas envie de faire ce soir à 22h. Sujet tout de même très intéressant, si je m'ennuie en cours demain, je saurai quoi faire

Edit : grilled par Martini qui apporte une réponse bien plus constructive que moi ...

[invitee8378889]

Le problème c'est que la courbe de von koch est formée d'homotheties et de rotations ce qui n'est pas le cas de la courbe que vous donnez en exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

il y a en effet plus de travail, car il faut trouver une paramétrisation du flocon. La suite relève cependant d'arguments similaires.

Cordialement.

[invitee8378889]

Comment décomposer la première étape de la courbe :

A savoir disposant d'un segment unité sur [0,1] j'effectue une première homothétie de rapport 1/3 centré en "0" puis une deuxième homothétie de centre "1" et de rapport 1/3. On a enlevé un tiers du segment. Et ensuite comment fait on?

[invite642cafc1]

Pour la continuité (et l'existence), l'utilisation de la convergence uniforme me semble le plus rapide. En effet, si on note M_n la courbe à la n^ème étape, il est facile de majorer M_n+1(t)-M_n(t) par le terme d'une série géométrique convergente. On note M(t) le point du flocon d'abscisse t.

Pour la non-dérivabilité, je ne pense pas que le passage par une paramétrisation soit le plus rapide et le plus efficace (trouver une forme manipulable d'une telle paramétrisation me paraît plus difficile que la question posée). De plus, si une preuve par ce biais est obtenue, une question naturelle vient immédiatement : peut-on reparamétriser pour obtenir une courbe plus régulière (tout en conservant la même image, bref est-ce le lieu géométrique qui possède cette propriété ou seulement la paramétrisation).
Face à une telle courbe, il me semble plus judicieux d'utiliser les propriétés de sa définition géométrique. A savoir, ces propriétés homothétiques et le fait que les points anguleux d'une étape donnée ne 'bougent' plus aux étapes suivantes.

Pour s'attaquer à celle-ci, il me semble intéressant, voire indispensable, de limiter géométriquement les possibilités pour les points de la courbe.
Avant d'énoncer ce premier lemme, quelques notations seront utiles voire indispensables.

Le but est

1. de montrer que pour tout point M(t) du flocon il existe deux familles de points (M(s_n)) et (M(s'_n)) tels que l'angle M(s'_n)M(t)M(s_n) soit compris entre un angle a >0 et 2pi/3.
2. De montrer ensuite que ceci est incompatible modulo une condition sur les rapports des distances M(t)M(s)/(s-t).
3. Et finalement de montrer que le paramétrage induit par cette construction satisfait la condition précédente.

On note les points anguleux de l'étape n (à l'étape 0 ce sont les extrémités du segment initial). Ils sont en quantité 4ⁿ +1.
Les points sont les points + pour chacun d'entre eux 3 nouveaux points.
C'est un premier lemme facile de montrer que pout m<n, si note t le paramètre d'un point anguleux à l'étape m alors M_n(t)=M_m(t)=M(t)

0) Approximation des points de la courbe.
Une idée pour limiter les lieux géométriques possibles d'un point M(t), t donné, est tout simplement de construire des triangles 'pleins' s'appuyant sur les points anguleux des différentes étapes.
On note la réunion des triangles pleins et la réunion des (on retire les triangles à T_n).
Lemme : est une suite décroissante pour l'inclusion (pour n>1, n'est pas défini). Il en est de même de
Corollaire du lemme : pour tout m et tout n>m la courbe à l'étape m (l'image de M_m) notée C_m est incluse dans T'_n.
Idée de la preuve :

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à l'étape 1, on a 5 points anguleux notés en simplifiant la notation A₀, A₁, A₂, A₃ et A₄. T₁ est le triangle A₀A₂A₄.
A l'étape 2, T₂ est l'union des triangles B₀B₂B₄(=A₀B₂A₁), B₄B₆B₈(=A₁B₆A₂), B₈B₁₀B₁₂(=A₂B₁₀A₃) et B₁₂B₁₄B₁₆(=A₃B₁₄A₄).
Par une première symétrie (par rapport à la médiatrice, celle-ci passant par A₂, de A₀A₄) on se ramène à montrer que les deux premiers sont inclus dans T₁=A₀A₂A₄.
Par une seconde symétrie (par rapport à la bissectrice de A₀A₁A₂ en A₁) on se ramène à montrer que le premier triangle est inclus dans T₁.
Et on utilise une homothétie évidente de rapport 1/3 pour conclure.
Pour montrer T_n+1 inclus dans T_n, on utilise la construction répétitive (fractale) des étapes.
Maintenant pour T'_n, les triangles exclus le sont aussi dans T_n+1 donc T'_n contient T_n+1 ainsi que T'_n+1.
Pour la suite, il faut être un peu plus précis et montrer également que si un point M_n(t) est sur un segment A_iⁿA_i+1ⁿ alors il est dans le triangle A_4iⁿ⁺¹A_4i+2ⁿ⁺¹A_4(i+1)ⁿ⁺¹ de T_n+1 mais ceci se montre facilement en utilisant les relations homothétiques entre les diverses étapeset la construction des T_n et des T'_n.
Remarque, avec ce qui précède il n'est pas difficile de montrer que la courbe n'a pas de points doubles.

1) construction d'un angle non nul
On va désormais construire les deux suites de points M(sn) et M(s'n) pour une valeur t quelconque telle que l'angle soit compris entre l'angle a=A₂A₀A₁>0 (et ne dépend pas de l'étape par homothétie entre celles-ci) et 2pi/3 pour tout n.
Idée :

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utiliser l'approximation géométrique précédente pour M(t) et les points anguleux.

Construction et idée de la preuve :

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Soit n un entier>0, t est situé (de manière large) entre deux valeurs de points anguleux et . Pour se simplifier la vie (mais pour une preuve, il faudrait être plus pointilleux), on va les renoter A0 et A4.
D'après ce qui précède, M(t) est dans A0A2A4 et on sait même qu'il est dans A₀A₁A₂ (si t compris entre les paramètres de A₀ et A₂) ou A₂A₃A₄ (si t compris entre les paramètres de A₂ et A₄).
Si M(t) est dans A₀A₁A₂ (mais distinct de A₂), on choisit M(s_n)=A₃ et M(s'_n)=A₂.
En vecteur : M(t)M(s_n) forment un angle avec A₃A₄=A₀A₄ compris entre 0 (points sur le segment A₀A₁) et -pi/3 (cas extrême où M(t) serait égal à A₂)
M(t)M(s'_n) forme un angle A₀A₁=A₀A₄ compris entre pi/3 (points sur le segment A₁A₂) et la mesure a de l'angle A₁A₀A₂ (invariant pour chaque étape).
L'angle orienté M(s_n)M(t)M(s'_n) a donc une mesure comprise entre a et 2pi/3.
Si M(t) est dans A₂A₃A₄, les choix de M(s_n)=A₂ et M(s'_n)=A₁ satisfont le même résultat par symétrie.
Pour M(t)=A₂, on peut choisir A₃ et A₄ ce qui satisfait aussi ce résultat.
Pour les points anguleux, il faut à partir du moment où ils le deviennent (ils ne le sont pas forcément à l'étape 1), choisir un des deux segments de la courbe M_n à laquelle ils appartiennent (pour éviter de 'doubler' la suite et être incohérent dans les définitions).

Intuitivement, c'est incompatible avec la dérivabilité de M en t. Il reste à le montrer ce qui va exhiber une condition.
2) preuve sous condition de la non dérivabilité
Idée :

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utiliser la fonction sinus.

Esquisse de la preuve :

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On a

Si M est dérivable en t avec une dérivée non nulle, alors les premiers facteurs convergent vers une quantité finie (l'inverse de la norme de la dérivée, à écrire proprement) et le troisième facteur converge par continuité du produit vectoriel vers le produit vectoriel du vecteur dérivée avec lui même c'est à dire vers le vecteur nul. Ceci est en contradiction avec ce qui précède si il est montré que la dérivée ne peut être nulle si elle existe.

Il reste donc à montrer que la paramétrisation induite par la construction ne peut admettre de points de dérivée nulle. Pour cela il suffit de montrer que pour s<s' M(s)M(s')>c.(s'-s) avec c>0. Cette proposition est notée (#)
3) M(t)M(s)>constante positive (s-t)
C'est le point le plus délicat.
Idées pour y parvenir :

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On y parviendra si on parvient à majorer M(s)M(s') tout en minorant s'-s. Ceci n'est guère envisageable avec un seul cas, il faut néanmoins limiter ceux-ci.
L'utilisation du fait que pour un segment donné d'une étape donnée, le rapport entre les distances et les paramètres est constant (et au moins égal à 1) permet de ramener une minoration de s'-s à une minoration de distances géométriques tout en ne considérant qu'un seul cas.
Une majoration de M(s)M(s') est possible si on trouve deux lieux géométriques fermés disjoints, un contenant M(s) l'autre M(s'). Cela devient possible dans certains cas lorsque s et s' ne sont plus sur un même segment d'une étape n. Ceci donne une première configuration possible.
Une difficulté se présente quand les deux points sont proches d'un même point anguleux (à symétrie près, cela donne deux configurations possibles). L'utilisation de configurations homothétiques autour des points anguleux peut permettre de pouvoir séparer M(s) et M(s') tout en laissant le nombre de configurations à envisager en nombre fini.

Esquisse de preuve :

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Soient s et s' deux paramètres (on peut supposer s<s'). Il existe une première étape n>0 telle que s et s' ne soient plus sur le même segment (mais l'étaient à l'étape n-1).
On note une nouvelle fois les points A₀ à A₁₆ comme précédemment. On note t₀ à t₁₆ les paramètres de ces points.
On note k le rapport de proportionnalité entre les distances M(s)M(t) et les différences paramètres t-s. k est une puisssance de 2 et est au moins égal à 1.
Maintenant, à symétrie près, on est dans un des cas suivants :
i) s est compris entre les paramètres de A₀ et de A₄, s' est compris entre ceux de A₈ et de A₁₆.
ii) s est compris entre les paramètres de A₀ et de A₄ s' est compris entre ceux de A₄ et de A₈.
ii)' s est 'compris entre' A₄ et A₈ et s' est compris entre ceux de A₈ et de A₁₂.
Pour le cas i), M(s) est dans le triangle Z₁=A₀A₂A₄ (qui est un compact) et M(s') est dans le triangle Z₂=A₈A₁₂A₁₆ (qui est aussi un compact).
M(s)M(s')>=min{d(z₁,z₂); z₁ est dans Z₁ et z₂ est dans Z₂}
Mais on a aussi vu le rapport de proportionnalité ls'-sl<=1/k.max{d(z₁,z₂)}.
Il suffit donc que c<=min{d(z₁,z₂)}/max{d(z₁,z₂)}(=h₁) pour que (#) dans ce cas (on a k>=1).

Pour les cas ii) et ii)' on ne peut utiliser immédiatement cet argument mais on va s'y ramener pour chacun d'entre eux et ceci avec une seule configuration à homothétie près.
Seul le cas ii) sera développé.

Pour le cas ii),
on renote les sommets A₀ en B₀, A₂ en C₀, A₃ en B₁, A₄ en S, de plus on note C₁ le sommet du 'milieu' de l'étape n+2 entre A₃(=B₁) et A₄(=S).
Il est facile de montrer que B₁ et C₁ sont images de B₀ et C₀ par l'homothétie H de centre S et de rapport 1/3.
On note le triangle plein le triangle plein (image de par H) et le quadrilatère plein .
On vérifie aisément que est l'union de et de .
On note et on définit pour tout m, les images par l'homothétie H de respectivement
On note le quadrilatère et le triangle .
On montre facilement que :
a) est l'image de par H
b) est l'image de par H
c) est l'union de et de
d) pour un paramètre u compris entre celui de et de M(u) est dans
e) pour un paramètre u compris entre ceux de et de S est dans
On a est l'union des et du singleton {S}. Ainsi soit s=t₄ (M(s)=A₄=S, on dira que ) ou il existe un plus petit tel que M(s) soit dans .
On note et les images par la symétrie d'axe la bissectrice de .
On obtient de même que soit M(s')=S=A₄ () soit il existe un plus petit tel que M(s') soit dans
Comme s et s' sont distincts, ou est fini. Soit le plus petit des 2. On peut par symétrie supposer que . On a alors M(s) est dans , M(s') est dans (car ). On peut alors raisonner comme pour le cas précédent et définir =min{d(k,r)}/max{d(k,r)} où les k sont dans et r dans . Or, ces deux lieux étant images par la même homothétie de centre S et de rapport de et de ne dépend donc pas de et on peut le noter .
Pour des paramètres qui sont dans le cas ii), il suffit donc que c<=h₂ pour que (+) soit vérifié.

Une construction similaire et un raisonnement analogue montrent qu'il existe une unique constante h₃ telle que pour tous les paramètres dans le cas ii)', il suffit que c<=h₃ pour que (+) soit vérifiée.

Il suffit alors de prendre c=min(h₁,h₂,h₃)>0 pour que (#) soit vérifiée dans tous les cas possibles.
ceci termine la preuve de la non-dérivabilité en tous les points.

En espérant que mes explications soient claires...

[invite642cafc1]

Oups, je me suis un peu emballé sur la fin. Il y a une petite erreur (aisément rectifiable).
Et surtout, bien que le résultat ne soit pas inintéressant il est beaucoup plus fort que le résultat nécessaire pour finir la preuve de non-dérivabilité en tous les points de la courbe. La technicité pour l'ensemble de la preuve devient beaucoup plus abordable.
Erratum et précision de la dernière partie du post précédent :

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Il s'agit de majoration de s'-s. Celle-ci ne s'obtient pas comme indiquée.
Dans le cas i), s'-s>=différence entre paramètre de A₀ et celui de A₁₆=k.A₀A₁₆>=A₀A₁₆
Maintenant comme les configurations aux différentes étapes sont homothétiques le rapport h₁=min{d(z₁,z₂)}/A₀A₁₆ est un invariant par rapport aux étapes et aux divers segments envisagés.
Une modification du même ordre pour le cas ii), doit s'effectuer sauf que l'on considère cette fois A0 et A6, puis leurs images par l'homothétie H, on obtient là encore diverses configurations mais toutes homothétiques.

preuve simplifiée de : "la dérivée en un point, si elle existe, ne peut être nulle".

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Dans la construction des deux suites M(s_n) et M(s'_n), on recrée une suite s''_n où M(s''_n) est le plus éloigné de M(t) entre M(s_n) et M(s'_n). Cette suite est satisfaisante.
On reprend l'idée de la preuve (pour eux qui ont lu la partie 3 du premier post, c'est le même raisonnement)
En effet, on a dans tous les cas une configuration homothétique à l'étape 1 avec M(t) dans A₀A₂A₄ et M(s''_n)=A₁₂.
La différence s''_n-t est au plus égale à la différence entre les paramètres de A₀ et de A₁₆=k.A₀A₁₆ où k est le rapport entre les différences de paramètre sur le segment de A₀A₁₆ et les paramètres (ce rapport qui est une puissance de 2 est >=1). On a donc toujours s''_n-t>=A₀A₁₆
On a donc
Si la dérivée en t existe alors le membre de gauche converge vers la norme de la dérivée en t (à montrer proprement mais c'est une simple application d'interversion d'une fonction continue et d'une limite).
Cette dérivée ne peut donc être nulle. Ceci termine la preuve de la non-dérivabilité.