Les flocons de Von Koch

invited0befd3a · 19/04/2008, 13h46

Bonjour à vous. Voila , j'ai 2 exercices à faire pendant les vacances, qu'ils soient noté ou pas je m'en fou, ils sont assez dur et je voudrais les comprendre, alors je solicite votre aide ^^. (je vous mets l'énoncé complet d'abord, puis je vous expliquerai ce que j'ai trouvé ou ce que j'en pense)

" Une unité de longueur étant choisie, on considere un triangle équilatéral C0 de coté 1.
A partir de C0, on construit un nouveau polygone de la façon suivante : on divise chaque coté de C0 en trois segments de même longueur, on conserve les deux extremes et on remplace le tiers central, à l'extérieur de C0, par les deux coté d'un triangle équilatéral ( dont ce tiers central serait le troisieme coté). On appelle C1 ce nouveau polygone.
En procédant de même )à partir de C1, on obtient un nouvelle figure C2 et ect."

Voila alors à la premiere question, ils me demandent de construire C0 ,C1,C2 et C3... je pense y etre arriver sans trop de problemes, d'ailleur j'ai trouvé une formule de récurence je crois qui ùe permet de savoir combien il faut de coté à C3:
c'est U1 = C0 = 3 et Un+1 = Un x n ( si c'est juste ou faut corrigez moi ^^ )

ensuite la question 2 ils disent : " On note ln le périmetre du polygone Cn, n € à N.
Déterminer une relation entre deux termes consécutifs de la suite ( ln) puis calculer l'experssion de ln en fonction de n . 'Ici j'ai l'impression que c'est la formule que j'ai écrite juste au dessus qui est demandée non?)

3) (et c'est là que je bloque completement ^^) Soit un réel x plus grand ou égal à 0. Calculer l'aire d'un triangle équilatéral de longueur de coté x

et 4) On note Sn l'aire de la surface délimitée pas Cn.
Déterminer une relation entre deux termes consécutifs de la suite ( Sn), puis calculer l'expression de Sn en fonction de n.

Merci d'avance de votre aide !

**Flyingsquirrel** · 19/04/2008, 14h06

Salut

Envoyé par Percevalgui

une formule de récurence je crois qui ùe permet de savoir combien il faut de coté à C3:
c'est U1 = C0 = 3 et Un+1 = Un x n ( si c'est juste ou faut corrigez moi ^^ )

C'est faux, ça donnerait $\text{[math]}$
Si on considère un côté du flocon, combien de nouveaux côtés seront issus de celui-ci à l'étape suivante ?

ensuite la question 2 ils disent : " On note ln le périmetre du polygone Cn, n € à N.
Déterminer une relation entre deux termes consécutifs de la suite ( ln) puis calculer l'experssion de ln en fonction de n . 'Ici j'ai l'impression que c'est la formule que j'ai écrite juste au dessus qui est demandée non?)

À peu de choses près, oui. (enfin, avec la bonne formule qui donne le nombre de côtés en fonction de $\text{[math]}$

) Tu as le nombre de côté et tu cherches le périmètre de la figure donc il y a une longueur qui traîne quelque part.

3) (et c'est là que je bloque completement ^^) Soit un réel x plus grand ou égal à 0. Calculer l'aire d'un triangle équilatéral de longueur de coté x

Bah alors, l'aire d'un triangle

? La moitié du produit de la base et de la hauteur ? (sachant que, comme le triangle est équilatéral, tu connais tous les angles...)

invited0befd3a · 19/04/2008, 14h10

pour la formule que j'avais trouvée , je trouvé que C3 aurait 72 coté ( sa me parraissait probable en fait ) mais je vais re-chercher comem tu me dit ^^

invited0befd3a · 25/04/2008, 09h59

72 est il le bon résultat?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invited0befd3a · 25/04/2008, 10h15

Et donc pour la question 1 la bonne formule est laquelle si c'est pas ça?

invited0befd3a · 25/04/2008, 10h24

ahhh j'ai peut etre trouvés , en fait à chaques étapes je viend e me rendre compte qu'on prennait un segment et qu'on en fasiait 4 sur ce même segement... donc la relation pourrai etre U1=0 et Un+1 = Un x 4 non?

mais donc dans la question ils me disent (si la formule est bonne biensur) de calculer l'expression de Ln en fonction de n, sa veut dire quoi en fait?
merci d'avance

**Flyingsquirrel** · 25/04/2008, 13h39

Envoyé par Percevalgui

ahhh j'ai peut etre trouvés , en fait à chaques étapes je viend e me rendre compte qu'on prennait un segment et qu'on en fasiait 4 sur ce même segement... donc la relation pourrai etre U1=0 et Un+1 = Un x 4 non?

Oui, c'est ça, sauf que si on part avec 0 côté on ne va pas aller bien loin

. Du coup, tu peux répondre à :

Envoyé par Percevalgui

72 est il le bon résultat?

Envoyé par Percevalgui

mais donc dans la question ils me disent (si la formule est bonne biensur) de calculer l'expression de Ln en fonction de n, sa veut dire quoi en fait?

Ça signifie que dans l'expression finale de $\text{[math]}$ il ne doit pas y avoir de terme comme $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ...

invited0befd3a · 25/04/2008, 15h58

ahh d'accord lol, c'est vrai que c'était un peu stupide de partir de 0..donc je part de trois, et ainsi de suite.
ALros la réponse n'est pas 72 mais 192 ?? ^^

et donc je ne comprend toujours pas vraiment le coup de calculer Ln en fonction de n, sa veut dire que je remplace chaques termes par sa valeur? de la même façon que j'ai calculé L1, L2, L3...

invited0befd3a · 25/04/2008, 16h03

et pour la question soit un réel x > 0. Calculer l'aire d'un triangle équilatéral de longueur de coté x..... A = ((base x hauteur )/ 2 ) ce qui donne (x*h/2)
donc A = 1/2 hx
mais je trouve ça bizarre . Peut tu m'aider?

**Flyingsquirrel** · 25/04/2008, 17h38

Envoyé par Percevalgui

ahh d'accord lol, c'est vrai que c'était un peu stupide de partir de 0..donc je part de trois, et ainsi de suite.
ALros la réponse n'est pas 72 mais 192 ?? ^^

Presque

:
- Premier flocon : 3 côtés
- Deuxième flocon : 3*4=12 côtés
- Troisième flocon 12*4=48 côtés
- Quatrième flocon 48*4=192 côtés

et donc je ne comprend toujours pas vraiment le coup de calculer Ln en fonction de n, sa veut dire que je remplace chaques termes par sa valeur? de la même façon que j'ai calculé L1, L2, L3...

Pas vraiment. Par exemple, dans le cas d'une suite géométrique, les termes de la suite vérifient $\text{[math]}$ et l'expression de $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ . C'est exactement ce à quoi tu dois arriver ici.
Pour calculer $\text{[math]}$ , je te conseille de noter $\text{[math]}$ la longueur d'un côté du n-ième flocon, de calculer $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ puis de dire que le périmètre vaut $\text{[math]}$ . Ensuite, il faudra trouver une relation entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Avec un peu de "chance", $\text{[math]}$ sera géométrique, il suffira donc d'appliquer ce que j'ai expliqué plus haut.

Envoyé par Percevalgui

et pour la question soit un réel x > 0. Calculer l'aire d'un triangle équilatéral de longueur de coté x..... A = ((base x hauteur )/ 2 ) ce qui donne (x*h/2)
donc A = 1/2 hx
mais je trouve ça bizarre .

La seule chose connue sur ce triangle c'est la longueur $\text{[math]}$ de ses côtés : on ne sait pas ce que vaut $\text{[math]}$ , il faut donc l'exprimer en fonction de $\text{[math]}$ . (d'où ma remarque sur les angles au message #2)

invited0befd3a · 27/04/2008, 11h31

je suis désolé mais je 'ny arrive pas du tout.... ce qui m'énerve c'est que malgré tous les exos que je fait ou quoi...certaines fois j'arrive à comprendre par moi même, amsi le plus souvent ce 'nest pas clair, je ne comprend pas le déroulemenet logique qu'il faut pratiquer.... et les suites ne sont pas claires du tout ...pas comme les barycentre ou d'autres chapitres lol...

Merci quand même!

**Flyingsquirrel** · 27/04/2008, 12h02

Dans ce cas, on va détailler le calcul du périmètre :
(j'utilise les notations introduites dans mon message précédent)

1er flocon : longueur d'un côté : $\text{[math]}$ , nombre de côtés $\text{[math]}$ d'où le périmètre $\text{[math]}$ car tous les cotés ont la même longueur
2e flocon : longueur d'un côté : $\text{[math]}$ , (pourquoi ?) nombre de côtés $\text{[math]}$ d'où le périmètre $\text{[math]}$
3e flocon : longueur d'un côté : $\text{[math]}$ , nombre de côtés $\text{[math]}$ d'où le périmètre $\text{[math]}$
...

À n'importe quel rang, on s'aperçoit qu'on est capable d'exprimer le périmètre du flocon en fonction de son périmètre au rang précédent. Reprenons le cas du rang 3 :

3e flocon : longueur d'un côté : $\text{[math]}$ , nombre de côtés $\text{[math]}$ d'où le périmètre $\text{[math]}$

On soupçonne donc $\text{[math]}$ d'être une suite géométrique de raison 4/3. Pour le montrer il suffit de calculer $\text{[math]}$ pour un rang $\text{[math]}$ quelconque et de montrer que ce quotient vaut 4/3. (c'est exactement la même démarche que ce que je viens de faire mais avec $\text{[math]}$ au lieu de 3

)
Une fois que tu auras fait ça, l'expression de $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ sera simple à établir.

En espérant que ça soit plus clair...

invited0befd3a · 27/04/2008, 15h14

oui ^^ c'est bcp plus clair, j'ai compris la démarche en fait, donc j'ai calculé Ln+1 / Ln = ((4/3)Ln)/Ln = 4/3 . Donc la suit est géométrique .

Ensuite pour calculer l'expression de Ln en fonction de n, d'apres ce que tu m'a dit plus , cela veut dire qu'il faut que dans l'expression finale de Ln il n'y ai pas de Ln+1 ou Ln-1....
Mais je part de quoi? je prend Ln+1 = (4/3)Ln et je transforme?

Pour l'aire du triangle, j'ai regardé avec les angles(sous tes conseils ^^) mais comme je ne voyait pas trop, j'ai pas trop chercher sur ça et du cuop je crois avoir trouvé quelque chose de probable :avec pytagore, x² = h² + (x/2)² ( comme le triangle est équilatéral).
Donc apres calcul ( petit

) je trouve h=(racine de 3)x/2.
Donc je remplace ans la formule (base x hauteur ) /2 et encore apres calcul je trouve A= ((racine de 3) x²) / 4. est ce juste?

et donc pour la derniere question de l'exercice "On note Sn; l'aire de la surface délimité par Cn. Déterminer une relation entr deux termes consécutifs de la suite (Sn), puis calculer l'expression de Sn en fonction de n"
ALors je me doute que c'est le même raisonnement à suivre que pour le périmetre non?

Merci d'avance

**Flyingsquirrel** · 27/04/2008, 15h39

Envoyé par Percevalgui

oui ^^ c'est bcp plus clair, j'ai compris la démarche en fait, donc j'ai calculé Ln+1 / Ln = ((4/3)Ln)/Ln = 4/3 . Donc la suit est géométrique .

Ensuite pour calculer l'expression de Ln en fonction de n, d'apres ce que tu m'a dit plus , cela veut dire qu'il faut que dans l'expression finale de Ln il n'y ai pas de Ln+1 ou Ln-1....
Mais je part de quoi? je prend Ln+1 = (4/3)Ln et je transforme?

Tu jettes un œil à ton cours sur les suites géométriques.

(il y a forcément un endroit où on te donne l'expression du n-ième terme d'une suite géométrique en fonction de $\text{[math]}$ , de la raison et du premier terme de la suite, ça fait partie des choses ultra-importantes [non, je n'exagère pas...])

Pour l'aire du triangle, j'ai regardé avec les angles(sous tes conseils ^^) mais comme je ne voyait pas trop, j'ai pas trop chercher sur ça et du cuop je crois avoir trouvé quelque chose de probable :avec pytagore, x² = h² + (x/2)² ( comme le triangle est équilatéral).
Donc apres calcul ( petit

) je trouve h=(racine de 3)x/2.
Donc je remplace ans la formule (base x hauteur ) /2 et encore apres calcul je trouve A= ((racine de 3) x²) / 4. est ce juste?

Oui, ça l'est ! Pour les angles, on sait que dans un triangle équilatéral, les trois angles à l'intérieur du triangle valent $\text{[math]}$ . En faisant un dessin on obtient que $\text{[math]}$ mais utiliser le théorème de Pythagore est tout aussi valable.

et donc pour la derniere question de l'exercice "On note Sn; l'aire de la surface délimité par Cn. Déterminer une relation entr deux termes consécutifs de la suite (Sn), puis calculer l'expression de Sn en fonction de n"
ALors je me doute que c'est le même raisonnement à suivre que pour le périmetre non?

Regarder ce qui se passe sur les premiers flocons devrait bien t'aider : quelle est l'aire ajoutée lorsqu'on passe du premier au second, du second au troisième,... du n-ième au (n+1)-ième ?

invited0befd3a · 27/04/2008, 15h47

on ajoute (racine de 3) / 4 ???

avec Un+1 = (racine de 3) / 4 ? (mais je crois en fait que c'est faux lol car on ajoute pas un triangle entier

**Flyingsquirrel** · 27/04/2008, 15h53

Envoyé par Percevalgui

mais je crois en fait que c'est faux lol car on ajoute pas un triangle entier

Effectivement...

invited0befd3a · 27/04/2008, 16h08

ou alors c'est 1/3 car on coupe les segments de chaques triangle en trois pour en faire 4 coté non?

invited0befd3a · 27/04/2008, 17h29

je crois que j'ai trouvé pour exprimer Ln en fonction de n ^^

Ln = L1 q^n
Ln = L1 (4/3)^n
Ln = 3 x (4/3)^n = 4^n ????

et la limite de Ln+1 = 4/3 Ln est + l'infinis alros non?

**Flyingsquirrel** · 27/04/2008, 18h04

Envoyé par Percevalgui

je crois que j'ai trouvé pour exprimer Ln en fonction de n ^^

Ln = L1 q^n
Ln = L1 (4/3)^n

Oui

Ln = 3 x (4/3)^n = 4^n ????

Non

: $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ fois le nombre 3.

$\text{[math]}$
Combien reste-t-il de 3 au dénominateur ? donc quelle est la puissance de 3 ?
Sinon, on peut aussi le faire en manipulant directement les puissances avec les formules : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (donc $\text{[math]}$ ) et on retrouve le même résultat.

et la limite de Ln+1 = 4/3 Ln est + l'infinis alros non?

Oui car la raison est strictement plus grande que 1.

Pour l'aire, tu dois voir que lors du passage du premier au deuxième flocon, on rajoute un petit triangle équilatéral sur chaque côté.

invited0befd3a · 27/04/2008, 18h39

d'accords, alors il reste au dénominateur 3^n ??

et pour l'aire, cela veut dire qu'on rajoute 3 petit triangles équilateraux de 1/3 de longueur de coté?

**Flyingsquirrel** · 27/04/2008, 19h11

Envoyé par Percevalgui

d'accords, alors il reste au dénominateur 3^n ??

On a $\text{[math]}$ fois le terme 3 dans le produit, ( $\text{[math]}$ ) on en enlève un (celui qui se simplifie) et il en reste encore $\text{[math]}$ ?

et pour l'aire, cela veut dire qu'on rajoute 3 petit triangles équilateraux de 1/3 de longueur de coté?

Oui et comme tu as calculé l'aire de tels triangles, tu connais $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ . (tu connais $\text{[math]}$ aussi...)
Au rang suivant, la même idée s'applique. (et au rang $\text{[math]}$ aussi... sauf qu'il y a un peu plus que 3 côtés)

invited0befd3a · 27/04/2008, 19h16

ah non lol jsus trop con , il reste n-1

invited0befd3a · 27/04/2008, 19h20

mais pour l'aire, si tu veux bien, est ce que tu pourrai détailler les calculs pour bien me montrer..car en 1ere S les suites sont quelque choses de nouveau, et là on a fiat ce chapitre en 1semaine et demi donc c'est allé assez vite et cet exercice et le dernier du chapiter sur les pages du livre ( donc appriori le plus dur... enfin )

mais donc, il ne sera pas ramassé ou noté, donc j'aimerais réussir à comprendree clairement, et comme pour le périmetre sa m'a bien aidé de vior tes calculs et le déroulement logiques quoi ^^.

Merci d'avance

**Flyingsquirrel** · 27/04/2008, 20h19

Non, je ne détaillerai les calculs que si il y en a besoin. Tu m'as montré que tu as compris comment on trouve $\text{[math]}$ à partir de $\text{[math]}$ , tu devrais donc pouvoir établir les relations aux rangs suivants. De toutes façons, l'exercice est plus utile pour toi si tu réfléchis au problème et arrives à trouver "seul" l'expression de la suite. (et puis je n'ai pas vraiment envie de rédiger la correction complète de l'exercice non plus

)

invited0befd3a · 27/04/2008, 20h21

c'est vrai lol, dans le fond jsuis totaement d'accords

invited0befd3a · 27/04/2008, 20h26

donc la la hauteur d'un tel triangle est ((racine de 3)*1/3) / 2 ?
et pour passer de S1 à S2 j'ajoute 3 fois cette aire, donc 3((racine de 3 )*1/3) / 2??

mais apres ..pour passer par exemple de S2 à S3, ce n'est plus multiplié par 3 si?

**Flyingsquirrel** · 27/04/2008, 21h06

Envoyé par Percevalgui

donc la la hauteur d'un tel triangle est ((racine de 3)*1/3) / 2 ?

Oui

et pour passer de S1 à S2 j'ajoute 3 fois cette aire, donc 3((racine de 3 )*1/3) / 2??

Non, $\text{[math]}$ n'est pas l'aire d'un triangle mais sa hauteur.

mais apres ..pour passer par exemple de S2 à S3, ce n'est plus multiplié par 3 si?

Là, tu peux répondre seul : le 3 correspond au nombre de triangles qu'on ajoute, ajoute-t-on 3 triangles lors du passage du deuxième au troisième flocon ?

invited0befd3a · 27/04/2008, 21h17

non d'accords, donc jme suis betement trompé, pour l'aire c'est donc ((1/3)*((racine de 3) * (1/3)/2)/2) ?? ( c'est chaud à voir là mais comment fait tu pour avior tout les signes sur tes mess?
sinon est ce cela?

et donc non pour le 3, il faut que je fasse en fonction du nombre de triangles ajouté à chaques fois... donc je regarde la premiere question

**Flyingsquirrel** · 27/04/2008, 21h41

Envoyé par Percevalgui

non d'accords, donc jme suis betement trompé, pour l'aire c'est donc ((1/3)*((racine de 3) * (1/3)/2)/2) ??

Oui, c'est ça, ça fait $\text{[math]}$

( c'est chaud à voir là mais comment fait tu pour avior tout les signes sur tes mess?

J'utilise LaTeX.

invited0befd3a · 27/04/2008, 22h07

donc le lien entre 2 termes consécutif pour l'aire est Un+1 = racine de 3 / 36 Un ??

et pour calculer l'expression de Un en fonction de n je fait Un = U0 q^n
Un = U0*(racine de 3 / 36)^n
Un = ((racine de 3)/2))*(racine de 3 / 36 )^n ??

Les flocons de Von Koch

Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Re : Les flocons de Von Koch

Discussions similaires

flocons laine de verre

Expérience et Flocons de neige

Le flocon de Koch

Qu'est-ce que le postulat de Koch?