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flocons de Von Koch



  1. #1
    tennisgirl21

    flocons de Von Koch


    ------

    Bonjour, j'ai un Dm sur les flocons de Von koch mais j'ai quelques petits problèmes pour le résoudre

    voici l'énoncé:
    Soit a un réel strictement positif. On considère le polygone obtenu à partir d'un triangle équilatéral de côté a par réitération d'une tranformation appliquée à chaque côté. On divise chaque côté en trois parties égales puis on retire la partie centrale et on construit un triangle équilatéral à la place. Ainsi le segment [AB], de longueur a, est transformé en une ligne brisée de quatre segments de longueur a/3.
    Ensuite on la représentation des 4 premiers polygones
    on note respectivement Cn, Ln, Pn et Sn le nombre de côtés, la longueur d'un côté, le périmètre et l'airedu polygone obtenu à l'étape n.
    1)Calcul de Cn
    a)Donner les valeurs de C0, C1, C2 et C3
    b) démontrer que la suite (Cn) est géométrique
    c) Exprimer Cn en fonction de n

    2)Calcul de Ln
    a)Démontrer que la suite (Ln) est géométrique
    b) exprimer Ln en fonction de n

    3) Calcul de Pn
    Déduire des questions précédentes l'expression de Pn en fonction de n et de a
    4)Calcul de Sn
    a)calculer S0
    b) de l'étape n-1 à l'étape n, l'aire augmente de celle des Cn-1 triangles équilatéraux de côtés Ln. En déduire que Sn=Sn-1+ (3 racine de3)/16*a²*(4/9)n (n en exposant)
    c) calculer (Sn-Sn-1)+(Sn-1-Sn-2)+....+(S1-S0) de deux façons différentes et en déduire que Sn=((2 racine3)/5)*a²-((3 racine3)/20)*a²*(4/9)n (n en exposant)
    5) calcul des limites de (Pn) et (Sn)
    Démontrer que lorsque n tend vers l'infini, l'aire du polygone est finie tandis que son périmètre est infini

    Voici ce que j’ai répondu :
    1a) Co=3 C1=12 C2=48 et C3=192
    b) j’ai démontré qu’elle est géométrique de raison 4
    c) Cn=Co* Rn et j’ai n=Cn/12 mais je pense que c’est faux
    2a) J’ai démontré qu’elle est géométrique de raison 1/3
    b) Ln=Lo*Rn et n=3Ln/a mais je pense que ce n’est pas ça
    3) il faut faire Cn*Ln mais mes expressions étants fausses, le résultat est faux
    4a) après application de phytagore, on a h= (a*racine3)/2 donc So= a²* ((racine 3)/4)
    et après je n’arrive plus à répondre
    Si quelqu’un pourrait regarder à ce que j’ai fait et m’aider un peu, me donner quelques pistes pour la suite
    Merci d’avance.

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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : flocons de Von Koch

    Salut

    Pour une suite géométrique de raison 4, le terme vaut .
    On peut le vérifier sur les premiers termes : , , , etc. Je te laisse reprendre les questions qui posent problème.

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