Question de dénombrement

[invite7c6483e1]

Bonjour,
cette question est sûrement assez classique mais je ne vois pas "tout de suite" comment en trouver la réponse autrement que par une récurrence dont je n'arrive pas à "intuiter" le résultat ...

Pour tout entier positif non nul, je cherche le nombre de -uplets d'entiers appartenant à un sous-ensemble de tels que la somme des éléments constituant chaque -uplet fasse toujours .

Donc plus clairement à déterminer le cardinal de l'ensemble suivant pour tout :



Vous remarquerez que l'entier ne peut pas prendre n'importe quelle valeur. Disons qu'il est tel que où est la valeur maximale que peut prendre n'importe quelle composante (en valeur absolue) d'un des -uplets de .
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[invite7c6483e1]

j'avais oublié la parenthèse ^^

[invitebfd92313]

c'est quoi X ? parce que ca va complètement dépendre de sa nature ...

[invite7c6483e1]

c'est quoi X ? parce que ca va complètement dépendre de sa nature ...

Bah admettons que par exemple ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

Bah admettons que par exemple ...

avec cet X c'est trop facile. Un cas intéressant est celui où X est un ensemble de nombres positifs et contient 0. C'est le "change making problem" classique en combinatoire. Dans ce cas X peut être fini ou infini, ça n'a pas d'importance, mais si X est infini et contient des nombres négatifs, le nombre de solutions peut être infini ou pas.

[invitebfd92313]

je ne vois pas l'intéret de prendre X au hasard... personnellement j'aurais plutot fait ce dénombrement avec X = Z^p directement ...

enfin bon pour X = {-1,1}, dans le cas ou p - n = 2k avec k entier positif, il faut pour obtenir n avec un p-uplet prendre n fois 1 puis k fois -1 et 1. finalement il faut dénombrer le nombre de p-uplet contenant n+k fois 1, et il y en a n+k parmi p.
dans le cas ou p - n n'est pas de la forme 2k avec k entier positif, S_n est vide.