Prouver que 5 vecteurs engendrent R4

[invite369a4dc4]

Bonjour,
j'ai 5 vecteurs et je doit dire si ces 5 vecteurs engendrent ou non R4. Ma question: comment faire? ca doit pas etre très compliqué, mais bon je vois pas....
Merci
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[invitebe08d051]

Bonjour

La méthode classique consiste à résoudre un système d'après la définition d'une famille génératrice, mais pour moi le plus simple serait de vois si 4 de tes 5 vecteurs forment une famille libre, car si c'est le cas ils forment une base de R4 et engendrent alors R4.

[invite8a216543]

Salut,

mais pour moi le plus simple serait de vois si 4 de tes 5 vecteurs forment une famille libre, car si c'est le cas ils forment une base de R4 et engendrent alors R4.

ça veut donc dire, que 4 vecteurs libres de R4 sont forcément générateurs ?

C'est sûrement vrai, mais est-ce que c'est évident et c'est moi qui vois pas ? Ou bien alors c'est quelque chose à démontrer.

Merci.

[invite14e03d2a]

Salut,



ça veut donc dire, que 4 vecteurs libres de R4 sont forcément générateurs ?

Oui. R^4 est de dimension 4 donc toute famille libre à 4 éléments est une famille libre maximale i.e. une base.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a216543]

Une famille génératrice minimale est forcément une base aussi ?

[invite14e03d2a]

Oui. On a équivalence entre base, famille libre maximale et famille génératrice minimale.
Intuitivement, cela revient à dire qu'une base est une famille libre qui a suffisamment de vecteurs ou bien que c'est une famille génératrice qui n'a pas trop de vecteurs.

[invite9a322bed]

On considère -ev et .

un système composé de vecteurs de .

Les trois propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :

une base

(i) est libre.
(ii) .
(iii) engendre .

[invite14e03d2a]

Les trois propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :

une base

(i) est libre.
(ii) .
(iii) engendre .

Salut!

Qu'est-ce qui est équivalent à quoi?
Et comment définis-tu la dimension d'une famille de vecteurs? C'est la dimension de l'espace engendré par ses éléments?

[invite1e1a1a86]

je ne comprend pas non plus ce qui est équivalent a quoi (enfin si c'est ce que je comprend c'est faux...)


enfin, on peut dire qu'en dimension n fini
pour qu'une famille de vecteurs soit une base il suffit que 2 des propriétés : "on a n vecteurs", "la famille est libre", "la famille est génératrice" soient vérifiées, la troisième en découle alors.

ex:
famille de n vecteurs qui est libre => elle est génératrice donc c'est une base
famille de vecteurs qui est libre et génératrice=> c'est une base, il y a donc n vecteurs
....

[invite369a4dc4]

Merci pour votre aide.