Topologie Faible Etoile

[andrew_77]

Bonsoir,

Pouvez vous me dire que signifie :
" converge vers pour la topologie faible étoile de " ?

Merci beaucoup
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[Arkhnor]

Bonjour.

est l'espace dual de , où est un espace mesuré -fini. (par exemple un ouvert de )

Plus précisemment, si , définit une forme linéaire continue sur par .
On montre que toutes les formes linéaires continues sur s'obtiennent de cette façon, et que l'application qui à associe cette forme linéaire est une isométrie de sur .

Par conséquent, on peut dire que , et ça a donc un sens de parler de la topologie -faible sur .

Je te laisse alors traduire ce que ça signifie pour la convergence des suites.

[andrew_77]

Salut Arkhnor et merci pour ta réponse mais je vois toujours pas ce que signifie converger pour cette topologie.
J'ai regardé sur internet et j'ai rien compris (je suis plus dans l'algèbre !!) donc si tu peux m'en dire plus, ça serait génial.

[God's Breath]

Bonjour,

Pour un ensemble et une mesure sympathiques, dire que la suite converge vers pour la topologie *-faible de signifie que, pour tout fonction appartenant à , on a :
.

[A voir en vidéo sur Futura]

[andrew_77]

Salut God's Breath.
Un GRAND merci à vous deux.

[Arkhnor]

En fait, tu ne sais pas du tout ce qu'est la topologie -faible.
Je pensais que tu connaissais cette topologie, mais que tu ne voyais pas le lien avec .

Si est un evn, on dit d'une suite de qu'elle converge vers pour la topologie -faible si pour tout , on a .

D'où la définition donnée par God's Breath dans le cas de .

[andrew_77]

Rebonsoir !!

Je n'arrive pas à montrer la convergence faible étoile de suivante :
si on considère la suite :

=

• 1 si pour

• 2 si pour

Puisque la fonction oscille entre 1 et 2 sur, la suite converge faiblement vers la moyenne = 3/2.
Pour ce qui est de la convergence faible étoile vers 3/2, je ne vois pas.
Soit .
Apres j'aimerais utiliser le fait que la fonction tend vers 0 en l'infini mais je m'embrouille.

A l'aide !!

[andrew_77]

Personne n'a une petite idée ?

[God's Breath]

Bonjour,

Commence par prouver que lorsque est une fonction caractéristique d'ensemble intégrable.
Puis tu généralises à étagée, et ensuite à intégrable.

[andrew_77]

Salut God's Breath,

Ca fait plus d'une heure que je galère avec la fonction caractéristique. Là, je me dis que comme on travaille avec la mesure de Lebesgue, si on prend la fonction caractéristique sur un borné, c'est une fonction de ; et de même pour une fonction étagée et comme on a la convergence faible dans vers 3/2, on est ok pour ces classes de fonctions non ?

[andrew_77]

Aussi, je me demande si cette convergence faible en norme est vraie lorsque la suite est définie sur .
Sur un intervalle de la forme où m est un entier, je montre la convergence au sens des distributions (par l'uniforme continuité de la fonction test) puis par densité dans faible (puisque la suite est bornée, les deux convergences semblent équivalentes)
Après, dans tout entier, j'ai du mal à rédiger proprement et j'arrive pas à démontrer la convergence faible vers 3/2.
Peut-etre faut-il restreindre la suite sur l'intervalle par exemple, et après voir la convergence faible étoile non ?