Forme quadratique et cone isotrope.

[invite616a69c2]

Bonjour,

je me suis penchée sur le sujet supélec 2001 sur les coniques et je me heurte à un problème.
J'ai reussi la première partie, la seconde partie est sur "la nature d'une section conique"
On désigne par P0 le plan d'équation x+y+z=0 et q la forme quadratique qui à M=(x,y,z) associe .
La question est: Justifier l'existence d'une base B0=(I,J) de P0 qui soit une famille orthonormale pour le produit scalaire canonique de R^3 et telle que la restriction ait dans B0 une matrice de la forme .

L'existence vient du fait que: "une forme quadratique a une matrice symétrique réelle. Il existe donc une base orthonormale où la matrice de la forme est diagonale."
C'est la réduction d'une forme quadratique dans une base orthonormale.
Mais la la matrice obtenue est une matrice 2*2, pourquoi n'est ce pas une matrice 3*3?

Merci de vos explications.
Amanda
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[invite57a1e779]

On étudie la restriction de la forme quadratique au plan . Ce plan est de dimension 2 : dans une base constituée de deux vecteurs, il est normal que cette forme quadratique soit représentée par une matrice carrée d'ordre 2.

[invite616a69c2]

Ok merci
et est ce que la justification de l'existence comme je la donne est suffisante, ou faut-il mettre autre chose?

[invite57a1e779]

C'est l'idée, mais la réduction d'une matrice symétrique réelle en base orthonormée, c'est une réduction d'endomorphisme, pas de forme quadratique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite616a69c2]

Oula alors du coup je ne vois pas du tout comment justifier d'une base B0 qui soit une famille orthonormale

[invite57a1e779]

Il faut se placer dès le départ dans une base orthonormée.

[invite616a69c2]

Est ce que je peux utiliser P0: x+y+z=0
alors z=-x-y et une base orthonormale est ((1,0,-1),(1,-2,1))
il faut qu'elle soit orthonormée obligatoirement?

[invite57a1e779]

une base orthonormale est ((1,0,-1),(1,-2,1))

La base ne me semble pas très orthonormale.

[invite616a69c2]

J'ai vu quand je l'ai posté mais je n'arrive pas à utiliser le procédé d'orthonormalisation de Gram-schmidt

[invite616a69c2]

celle la est bonne??

[invite57a1e779]

Celle-ci convient, mais on demande de justifier l'existence ...
Il suffit de dire que l'on se place dans une première base orthonormée qu'il n'est pas nécessaire d'expliciter, puis que l'on diagonalise la matrice en se plaçant dans une autre base orthonormée, ce qui assure que la matrice de changement de base est orthogonale.

[invite616a69c2]

Le fait d'en avoir trouvé une ne justifie pas l'existence??

Il suffit de dire que l'on se place dans une première base orthonormée qu'il n'est pas nécessaire d'expliciter, puis que l'on diagonalise la matrice en se plaçant dans une autre base orthonormée, ce qui assure que la matrice de changement de base est orthogonale.

Je suis un peu perdu, on fait comme si je n'avais pas trouvé cette base, c'est ça? Apres je dis soit B' une base orthonormée, soit N la matrice de dans B'. N est diagonalisable, de matrice diagonale D, et sa matrice de passage P est orthogonale.
J'ai dis une betise?

[invite57a1e779]

Pour justifier l'existence d'une base orthonormée, tu peux te contenter de citer comme argument le procédé d'orthogonalisation de Schmidt, tu n'es pas tenu de calculer explicitement la base.

[invite616a69c2]

D'accord merci beaucoup pour l'aide, je crois que j'ai tout compris. Maintenant juste un petit coup de main de redaction. Est ce que je peux mettre:
P0 est un plan donc de dimension 2, une base B de P0 sera composée de 2 vecteurs. Le procédé d'orthonormalisation de Schmidt nous prouve l'existence d'une base de P0 qui soit orthonormale pour le produit scalaire B0=(I,J).