Forme quadratique

[invite33ae6c85]

Hello tout le monde,

J'ai un problème d'algèbre linéaire à vous soumettre.(voilà l'énoncé et ensuite il y a mes réponses dans le post suivant...)

Soit q la forme quadratique sur 4 définie par : q(x,y,z,t)=xy-zt.
Soit H un hyperplan vectoriel de 4 d'équation ax+by+cz+dt=0.
1.Quelle est la matrice de la forme quadratique q dans la base canonique de 4?
2.Quelle est la signature et le rand de q?
3.Quelle est la dimension de l'orthogonal de H pour q?En donner une base.
4. Donne une condition nécessaire et suffisante sur a,b,c et d pour que la restriction de la forme quadratique q à l'hyperplan H soit dégénéree. Quelle est dans ce cas le rang de q|H?
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[invite33ae6c85]

1. Alors pour la première ma matrice ca donne ca :
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 -1
0 0 -1 0
Je pense que ca c'est bon...

2. Pour trouver le rand et la signature je dois décomposer en carrés.
Ma décomposition en carrés donne :
q(x,y,z,t)=((x+y)/2)²-((x-y)/2)²-((z+t)/2)²+((z-t)/2)²
Ainsi ma signature est donc (2,2) et mon rang 4.

3.En regardant ma matrice je vois que ma matrice a un déterminant non nul donc q est non dégénérée comme q est non dégénérée je peur dire que la dimension de l'orthogonal du plan vectoriel est égale à la dimension de 4 moins la dimension de H. H etant un hyperplan vectoriel alors il est de dim 3 donc son orthogonal pour q sera de dimension 1.

Est-ce que je suis bien jusque là??
Mais là m'arrive le problème je me trouve incapable de donner une base j'ai du mal à voir comment faire ... idem pour la dernière question...

Je peux avoir un peu d'aide...
Merci d'avance.

[invite57a1e779]

Dans la matrice, je verrais bien des à la place des, non ?

Quelle est la forme bilinéaire symétrique associée à ?
Peux-tu interpréter l'équation de l'hyperplan à l'aide de cette forme bilinéaire symétrique ?

[invite33ae6c85]

Le reste c'est bon ce que j'ai fais autrement pour la dimension et tout?
heu oui oui autant pour omi je me suis rendu compte seulement après qu'il y avait des 1/2 au lieu des 1^^!!Merci beaucoup lol!!
En fait il faut que je calcule la forme polaire de q ? c'est ça?
Quand je la calcule j'obtiens b(X,X')=1/2(xy'+x'y-zt'-z't)
en considérant que les coordonnées de X sont (x y z t) et celle de X' sont (x' y' z' t')...
Je ,ne vois pas comment interpréter H à partir de ca... je me suis peut-etre trompe dans ma forme bilinéaire symétrique???

merci de ton aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

b(X,X')=1/2(xy'+x'y-zt'-z't)

Tu ne vois aucun rapport entre cette expression de la forme polaire et l'expression ax+by+cz+dt présente dans l'équation de l'hyperplan ?

[invite33ae6c85]

ben je crois bien que si
a=y'
b=x'
c=-t'
d=-z'
C'est bien cela ??
donc du coup si je cherche l'orthogonal de mon plan je peux dire que c'est la droite vectorielle engendrée par le vecteur (b,a,-d,-c) c'est bien cela??
Comment je fais pour le justifier exactement?

[invite57a1e779]

Il suffit d'appeler U le vecteur (b,a,-d,-c).
L'équation de H se met sous la forme b(X,U)=0, et tu as la relation d'orthogonalité entre H et la droite engendrée par U.
Comme tu sais que l'orthogonal de H est une droite grâce à ton raisonnement sur la forme non dégénérée, c'est fini.

[invite33ae6c85]

Ha oui d'accord je vois j'ai tout compris en fait il fallait pas que je raison sur la forme bilinéaire en elle meme mais plutot que je transforme mon équation de plan....
D'accord donc maintenant j'ai l'orthogonal de l'hyperplan qui est une droite vectorielle engendrée par U.
Donc maintenant je restreins à H. Je veux que ma restriction de q à H soit dégénérée càd que je veux que mon noyau soit non nulle... Pour que le noyau soit non nul il faut que b(x,x)=O n'implique pas x=0 c'est bien ca ?
Si je prends mon vecteur U alors q(U)=ab-dc et donc la condition nécessaire et suffisante serait ab=cd dans ce cas là j'ai q(x) qui vaut 0 mais x n'est pas le vecteur nul donc la forme q est dégénérée si ab=cd... Est-ce que mon raisonnement est bon???
Comment je peux trouver le rang de q après cela???

[invite33ae6c85]

on m'a oublié????

[invite57a1e779]

Equation de : .
La restriction de à est dégénérée : .
Yapuka...

[invite33ae6c85]

et la en fait je prends mon vecteur U pour le vecteur Y c'est bien ca ??
comme l'équation de H c'est b(X,U) alors je peux dire que U appartient au ker(q) quand q est restreint à H non ???
Comment je fais pour le rang après??

[invite33ae6c85]

on m'a oublié ???

[invite33ae6c85]

J'ai toujours le problème de rang pour ma restriction une dernière aide svp...