Montrer qu'une fonction est dérivable indéfiniment

[invite7174db88]

bonjour tout le monde!
alors voila ,, on a cette fonction: f(x)=(lnx+a)/(1+x^2)
il faut montrer qu'elle estderivable indefiniment

Voila je ne sais pas comment faire, mais deja je pense qu'il faut le faire par recurrence ; supposer que f^n(x) est derivable n fois et montrer que f^(n+1)est derivable n+1 fois mais comment, il faut faire ?? trouver une forme de f^(n)??
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[invite7174db88]

personne n'a une idée ?????

[invite57a1e779]

L'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables est une algèbre...

[invite7174db88]

Une algèbre ?? on ne peut pas montrer par recurrence

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Si, en utilisant la formule de Leibniz.

[invite7174db88]

je ne connais pas la formule de leibniz, pourrais tu me la donner , mci beaucoup

[invite4ef352d8]

Salut !

sans invoquer les résultat dont parle God's breath tu peux peut-etre montrer (par récurence) que f estn-fois dérivable et que la dérivé n-iemme de f est de la forme (ln x+a)*F(x)+G(X)

ou F et G sont des fractions rationelle (des quotients de polynomes...) dont les dénominateur ne s'annule pas sur R*. ce qui prouvera que f est bien infiniement dérivable.

[invite7174db88]

ok je vais essayer merci beaucoup