Polynômes et dérivation discrète

[Seirios]

Bonjour à tous,

Il y a quelques résultats sur la dérivation discrète que je n'arrive pas à démontrer :

Le premier est que pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à n, pour tout , , avec l'opérateur défini par : , sachant que je sais déjà que tout polynôme s'écrit .

Le problème a l'air simple, mais je ne vois pas comment démarrer.

J'aimerais ensuite montrer que pour tout polynôme de degré d, .

J'ai commencé par écrire , donc , puis j'ai cherché à encadrer par deux expressions indépendantes de k et tendant vers 1, mais je n'ai trouvé de majorant convenable, j'ai essayé avec et , mais cela ne fonctionne pas.

Quelqu'un pourrait-il me donner quelques indications ?

Merci d'avance,
Phys2
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[Seirios]

Le premier est que pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à n, pour tout , , avec l'opérateur défini par : , sachant que je sais déjà que tout polynôme s'écrit .

Le problème a l'air simple, mais je ne vois pas comment démarrer.

Effectivement, ce premier problème est simple, j'ai fini par trouver la solution.

[Seirios]

J'aimerais ensuite montrer que pour tout polynôme de degré d, .

J'ai commencé par écrire , donc , puis j'ai cherché à encadrer par deux expressions indépendantes de k et tendant vers 1, mais je n'ai trouvé de majorant convenable, j'ai essayé avec et , mais cela ne fonctionne pas.

Un petit up en reformulant ma question : Est-il possible de majorer le de ma somme () par une expression indépendante de k telle que ?

[mx6]

Bonsoir Anthony,

On pose :

.

On remarque que , si tu pose ta suite, je pense que tu pourras trouvé un lien entre et cette dernière.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mx6]

Mais enfaite, il faut voir du coté de Taylor Young aussi je crois...car pour faire apparaitre l'exp c'est surement ça ^^

[Seirios]

On pose :

.

On remarque que , si tu pose ta suite, je pense que tu pourras trouvé un lien entre et cette dernière.

L'ennui, c'est qu'on trouve ce genre de formules plus loin dans mon problème, donc ce serait un gênant de raisonner ainsi

Mais enfaite, il faut voir du coté de Taylor Young aussi je crois...car pour faire apparaitre l'exp c'est surement ça ^^

C'est ce que j'ai essayé de faire plus haut, puisqu'on sait que , mais je ne parviens pas à trouver l'égalité...

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[mx6]

Que signifie ton n en indice dans le P ?

[Seirios]

Désolé, j'ai effectivement oublié de le préciser : on note pour tout , les polynômes binomiaux.

[Hamb]

salut, si tu cherches encore la réponse, il suffit dans l'expression que tu as obtenue d'intervertir les sigmas pour arriver au résultat en passant la limite.
Juste par curiosité, quelle est la solution que tu as trouvée à la première question ?

[Seirios]

Effectivement, il suffit d'inverser les symboles somme et d'écrire ...Merci

Pour ma première question, j'y ai répondu en décomposant dans la base des polynômes binomiaux : , puis j'ai appliqué , ce qui donne .

Or , d'où , puis en évaluant en 0 : , puisque .

[Hamb]

ok, merci beaucoup ^^ cette méthode est effectivement relativement simple, mais je la trouve également peu naturelle. Mais c'est certainement parce que je ne connaissais pas tres bien les polynomes binomiaux ni l'endomorphisme delta.