salut a tous, je cherche de l'aide pour résoudre un système d'équations différentielles en utilisant la jordanisation, voilà le système:
x1'=x1-3x2+x3+3x4+t
x2'=-2x2+x4+x5
x3'=-2x2+x3+2x4
x4'=-x2+x5
x5'=-x5
avec xi'=dxi/dt et x1(0)=x3(0)=x5(0)=0 et x2(0) et x4(0)=-1
comment va-t-on procéder pour résoudre ce système! s'il vous plait j'ai vraiment besoin de votre aide,c'est la première fois que je pose une question ds un forum et j'espère avoir une réponse au plus vite!
Il faut poser un vecteur colonne X=(x1, x2, ..., x5) je le met en ligne par flemme , désolé.
Tu as donc ton système qui va être.
B(t) est un second membre, et A la matrice :
1 -3 1 1 0
0 -2 0 1 1
0 -2 1 1 0
0 -1 0 0 1
0 0 0 0 -1
La jordanisation de la matrice A va te permettre de simplifier le problème, soit en le rendant diagonale (alors les x1, x2 etc... suivront des équations indépendantes) soit triangulaire (il faut alors procéder par remonter du système)
merci pour la réponse, j'ai trouver la forme de jordan de la matrice qui est:
-1 0 0 0 0
0 -1 1 0 0
0 0 -1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
que ce que je dois faire ensuite ?
Il te faut plus que la matrice de Jordan. En fait, cela consiste à trouver un changement de fonctions inconnues qui sera plus facile à traiter.
De (x1, .., x5) tu fais un changement de passage vers (y1, ... y5).
Le but est d'avoir Y'=J.Y+second membre s'il y a, J ta forme de Jordan telle que
Dans ca cas, ton système sera surement assez facile, car tes fonctions yi seront peu couplées.
Si ta forme de jordan est bonne, alors ton système homogène (il faut voir pour le second membre) est devenu :
y1'=-y1 donc facile à résoudre
y3'=-y3
y5'=y5
ensuite tu as :
y2'=-y2'+y3 (facile car tu auras déjà trouver y3 à la deuxième équation)
y4'=y4+y5 (facile car tu auras déjà trouver y5 à la troisième équation)
Par contre, il te faut en plus la matrice de passage P pour pouvoir revenir aux solutions du problème (les xi) à partir des yi trouvés, puis enfin traiter le second membre (trouver une solution particulière du système)
si j'ai bien compris je dois faire X'.P pour trouver le Y' avec P la matrice de passage de la base canonique vers la base de jordan ? c'est ça? puis je trouve Y'=JY+B(t) est-ce correcte ?
la matrice de passage est:
1 0 0 1 1
1 1 0 0 0
1 0 0 0 1
0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
