Les compacts pour la distance discrète

[sebsheep]

Bonjour,

En faisant la queue pour un concert hier, je me suis demandé quels étaient les espaces compacts pour la distance discrète (oui j'ai des idées bizarres quand j'attends sans rien faire ...)

Alors évidemment, les espaces finis sont compacts car de toute suite d'un ensemble fini, on peut extraire un sous suite constante (et donc convergente).

Mais réciproquement, qu'en est il ? Si on a un ensemble infini, je construit une suite où tous les éléments sont différents, ce qui empêche d'extraire une suite constante ... mais pour cela, j'utilise l'axiome du choix non ?
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[Médiat]

Mais réciproquement, qu'en est il ? Si on a un ensemble infini, je construit une suite où tous les éléments sont différents, ce qui empêche d'extraire une suite constante ... mais pour cela, j'utilise l'axiome du choix non ?

Personnellement je ne vois pas où l'axiome du choix peut intervenir.

On peut aussi dire qu'un sous-ensemble fini ne peut être égal à un ensemble infini.

[sebsheep]

Personnellement je ne vois pas où l'axiome du choix peut intervenir.

Pour construire la suite comment fait-on alors ? Mon idée était de "choisir" une infinité d'éléments différents ; n'est-ce pas là l'axiome du choix ? Je n'ai jamais bien compris cette histoire, je pose cette question en profane complet ...

On peut aussi dire qu'un sous-ensemble fini ne peut être égal à un ensemble infini.

Je suis d'accord, mais quel rapport avec le problème ?

[Médiat]

Pour construire la suite comment fait-on alors ? Mon idée était de "choisir" une infinité d'éléments différents ; n'est-ce pas là l'axiome du choix ?

Il suffit de les prendre tous, sans se poser de question, donc sans axiome du choix.

Je suis d'accord, mais quel rapport avec le problème ?

De tout recouvrement par des ouverts, on peut extraire un recouvrement fini : c'est dans la définition d'un compact, et comme l'ensemble des points est un recouvrement par des ouverts ...

[A voir en vidéo sur Futura]