Compacts

[invite3df497c3]

On sait que tout compact peut être recouvert par un nombre fini de boules ouvertes d'un rayon donné :

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Mais un compact est fermé borné, il faudrait donc aussi que ces boules soient fermées, pour que leur réunion (finie) soit fermée, non ? (je pense bien que ça ne doit pas être vrai, sinon la propriété serait donnée avec boules fermées ! )

Si je me place dans , ev de dimension finie, donc de boule unité compacte, je "vois" bien que la boule unité pour norme infinie peut être recouverte par 4 boules de rayon 1/2 pour norme infinie, mais je n'arrive pas à concevoir que l'on puisse recouvrir la boule unité pour norme 2 par un nombre fini de boules de rayon 1/2 pour norme 2 (il y aura forcément des "trous" sur le bord ?)

Peut-être que le problème vient de ma notion de recouvrement : d'après ce que j'avais cru comprendre, si est un recouvrement fini de K, alors



mais je comprendrais mieux si c'était

Quelqu'un pourrait il m'éclairer ? ...
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[invite173dee73]

On sait que tout compact peut être recouvert par un nombre fini de boules ouvertes d'un rayon donné :

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Mais un compact est fermé borné, il faudrait donc aussi que ces boules soient fermées, pour que leur réunion (finie) soit fermée, non ? (je pense bien que ça ne doit pas être vrai, sinon la propriété serait donnée avec boules fermées ! )

Si je me place dans , ev de dimension finie, donc de boule unité compacte, je "vois" bien que la boule unité pour norme infinie peut être recouverte par 4 boules de rayon 1/2 pour norme infinie, mais je n'arrive pas à concevoir que l'on puisse recouvrir la boule unité pour norme 2 par un nombre fini de boules de rayon 1/2 pour norme 2 (il y aura forcément des "trous" sur le bord ?)

Peut-être que le problème vient de ma notion de recouvrement : d'après ce que j'avais cru comprendre, si est un recouvrement fini de K, alors



mais je comprendrais mieux si c'était

Quelqu'un pourrait il m'éclairer ? ...

la definition générale du recouvrement est bien

l'égalité est un cas particulier de recouvrement ! (exemple une partition d'un ensembles est un recouvrement particulier car on a egalité et de plus les sont disjoints deux à deux)

[invite4ef352d8]

Salut !

en effet, c'est juste une inclusion. Mais ceux qui ont ecrit ce que tu lis devait ce placer dans le point de vue de "l'espace compact K" c'est à dire l'espace K en oubliant tous ce qu'il y a à l'extérieur (etre compact c'est une propriété completement indépendant de ce dans quoi tu plonge K ca ne dépend que de la topologie de K lui meme ) et donc quand ils parlent d'une boule, c'est une boule DANS K, c'est à dire {x dans K telle d(x,centre)<rayon} (ca correspond à une boule intersecté avec K...).

[invite3df497c3]

Merci beaucoup !

[A voir en vidéo sur Futura]